Polinomios de Hermite

${\displaystyle \displaystyle {H_{n}}}$ es un polinomio de grado n, con n = 0, 1, 2, 3, .... Estos polinomios son ortogonales con respecto de la función peso (medida)

${\displaystyle e^{-x^{2}/2}\,\!}$ (probabilista)

o

${\displaystyle e^{-x^{2}}\,\!}$ (física)

es decir

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}/2}\,dx}$

${\displaystyle =n!{\sqrt {2\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}}$ (probabilista)

o

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={n!2^{n}}{\sqrt {\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}}$ (física)

donde ${\displaystyle \delta _{\mathit {nm}}}$ es la delta de Kronecker, que vale la unidad cuando n = m y cero en otro caso. Los polinomios probabilísticos son ortogonales con respecto a la función de densidad de probabilidad normal.

${\displaystyle e^{2tx-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)t^{n}}{n!}}}$

Los polinomios de Hermite (en su forma "física") satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia:

${\displaystyle H_{n+1}^{\mathrm {phys} }(x)=2xH_{n}^{\mathrm {phys} }(x)-2nH_{n-1}^{\mathrm {phys} }(x)}$

${\displaystyle {H'}_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2nH_{n-1}^{\mathrm {phys} }(x)}$

Toda función f continua puede expresarse como serie infinita en términos de polinomios de Hermite:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)=A_{0}H_{0}(x)+A_{1}H_{1}(x)+A_{2}H_{2}(x)+\ldots }$

Donde las constantes de la anterior serie vienen dadas por:

${\displaystyle A_{k}={\frac {1}{2^{k}k!{\sqrt {\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)H_{k}(x)\ dx}$

${\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x)\,}$

${\displaystyle H_{2n-1}(0)=0\,}$

${\displaystyle H_{2n}^{\mathrm {phys} }(0)=(-1)^{n}2^{n}(1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n-1))}$