Comparación de topologías

Dado un conjunto ${\displaystyle X}$, una topología ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ sobre dicho conjunto es una familia de subconjuntos llamados abiertos que cumplen determinadas condiciones.

Sean ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}$ dos topologías sobre ${\displaystyle X}$, entonces la topología ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}$ es más fina que ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}$ si ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}\subseteq {\mathcal {T}}_{1}}$. También, se dice que ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}$ es más gruesa o más débil que ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}$. Si la relación de inclusión es estricta, se añade el término estrictamente. Si ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}={\mathcal {T}}_{1}}$, las topologías son equivalentes.

La relación de inclusión ${\displaystyle \subseteq }$ define una relación parcial de orden sobre el conjunto de posibles topologías sobre ${\displaystyle X}$.

• La topología más fina sobre un conjunto dado es la topología discreta y la topología más gruesa es la trivial.
• Sobre los reales, la topología usual es más débil que la topología de Sorgenfrey.[1][2]
• Sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, las topologías inducidas por la distancia euclidiana, distancia del máximo y distancia de Manhattan son equivalentes. [1]
• Sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$, la topología cofinita es más débil que la usual.[3]

Sean ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}$ dos topologías sobre ${\displaystyle X}$. Las siguientes condiciones son equivalentes:

• ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}\subseteq {\mathcal {T}}_{2}}$
• La función identidad ${\displaystyle id_{X}\colon (X,{\mathcal {T}}_{2})\rightarrow (X,{\mathcal {T}}_{1})}$ es continua.
• La función identidad ${\displaystyle id_{X}\colon (X,{\mathcal {T}}_{1})\rightarrow (X,{\mathcal {T}}_{2})}$ es abierta.

• Topología inicial
• Topología final

• Munkres, James R. (2000). Topología (en inglés) (2ª edición). Prentice Hall. pp. 77–78. ISBN 0-13-181629-2.