Conjunto suma

En combinatoria aditiva, el conjunto suma (también llamado la suma de Minkowski) de dos subconjuntos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ de un grupo abeliano ${\displaystyle G}$ (escrito aditivamente) está definida como el conjunto de todas las sumas de un elemento de ${\displaystyle A}$ con un elemento de ${\displaystyle B}$. Esto es,

${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}.}$

El conjunto suma de ${\displaystyle n}$-iterado de el conjunto ${\displaystyle A}$ está dado por

${\displaystyle nA=A+\cdots +A,}$

donde en total hay ${\displaystyle n}$ sumandos.

Muchas de las preguntas y resultados de la combinatoria aditiva y teoría de números aditiva puede ser descrita en términos de conjuntos suma. Por ejemplo, el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange puede ser escrito brevemente de la siguiente forma

${\displaystyle 4\Box =\mathbb {N} ,}$

donde ${\displaystyle \Box }$ es el conjunto de números cuadrados. Un objecto que ha dado cabida a una gran cantidad de estudio son los conjuntos con plegado oequeño, donde el tamaño del conjunto ${\displaystyle A+A}$ es pequeño (comparado con el tamaño de ${\displaystyle A}$); véase por ejemplo el teorema de Freiman.