Continuidad absoluta

Sea ${\displaystyle I}$ un intervalo de la recta real ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Una función ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ es absolutamente continua sobre ${\displaystyle I}$ si para todo número positivo ${\displaystyle \varepsilon }$, existe otro número positivo ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }}$ tal que cualquier sucesión de subintervalos disjuntos dos a dos ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ de ${\displaystyle I}$ con ${\displaystyle x_{k},y_{k}\in I}$ que satisface[1]

${\displaystyle \sum _{k}\left(y_{k}-x_{k}\right)<\delta _{\varepsilon }}$

entonces

${\displaystyle \displaystyle \sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .}$

El conjunto de todas las funciones absolutamente continuas sobre ${\displaystyle I}$ se designa como ${\displaystyle \operatorname {AC} (I)}$.

Las siguientes condiciones para una función real f definida sobre un intervalo compacto [a,b] son equivalentes:[2]

(1) f es absolutamente continua;

(2) f tiene derivada f ′ casi en todas partes, la derivada es integrable en el sentido de Lebesgue, y

${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt}$

para todo x en [a,b];

(3) Existe una función g integrable en el sentido de Lebesgue y definida sobre [a,b] tal que

${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt}$

para todo x en [a,b].

Si alguna de estas condiciones equivalentes se satisface entonces necesariamente se tendrá que g = f ′ casi en todas partes.

La equivalencia entre (1) y (3) se denomina teorema fundamental del cálculo integral de Lebesgue, y fue demostrada por el propio Lebesgue.[3]

• Las suma o la resta de dos funciones absolutamente continuas también es absolutamente continua. Si las dos funciones están definidas sobre un intervalo cerrado y acotado, entonces su producto también es una función absolutamente continua.[4]
• Si una función absolutamente continua está definida sobre un intervalo cerrado y no se anula nunca sobre él, entonces su recíproco también es una función absolutamente continua.[5]
• Toda función absolutamente continua es uniformemente continua. Toda función lipschitziana es absolutamente continua.[6]
• Si f: [a,b] → R es absolutamente continua, entonces tiene variación acotada sobre [a,b].[7]
• Si f: [a,b] → R es absolutamente continua, entonces tiene la propiedad N de Luzin (es decir, para cualquier ${\displaystyle L\subseteq [a,b]}$ tal que ${\displaystyle \lambda (L)=0}$, se cumple que ${\displaystyle \lambda (f(L))=0}$, donde ${\displaystyle \lambda }$ se refiere a la medida de Lebesgue sobre R).
• f: I → R es absolutamente continua si y sólo si es continua, de variación acotada y tiene la propiedad N de Luzin.

Las siguientes funciones son continuas casi en todas partes pero no son absolutamente continuas:

• la función de Cantor;
• la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

definida en un intervalo finito que contiene al origen;

• la función f(x) = x ² sobre un intervalo no acotado.

Sea (X, d) un espacio métrico y sea I un intervalo de la recta real R. Una función f: I → X es absolutamente continua sobre I si prara cualquier número positivo ${\displaystyle \varepsilon }$, hay otro número positivo ${\displaystyle \delta }$ tal que cualquier sucesión de subintervalos disjuntos dos a dos [x_k, y_k] de I que satisface

${\displaystyle \sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta }$

entonces

${\displaystyle \sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\varepsilon .}$

El conjunto de todas las funciones absolutamente continuas de I a X se denota como AC(I; X).

Una generalización adicional es el espacio AC^p(I; X) de curvas f: I → X tales que[8]

${\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,\mathrm {d} \tau {\mbox{ para todo }}[s,t]\subseteq I}$

para algún m en el espacio L^p(I).

Una medida ${\displaystyle \mu }$ sobre el álgebra de Borel de la recta real es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue ${\displaystyle \lambda }$ (en otras palabras, dominada por ${\displaystyle \lambda }$) si para cualquier conjunto medible ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \lambda (A)=0}$ implica ${\displaystyle \mu (A)=0}$. Esto se denota como ${\displaystyle \mu \ll \lambda }$.

En la mayor parte de aplicaciones, si una medida sobre la recta real se dice que una "medida es absolutamente continua", sin especificar con respecto a que otra medida es absolutamente continua, entonces se sobre entiende que se está hablando respecto a la medida de Lebesgue. Lo mismo se aplica para ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n=1,2,3,\dots }$

• Ambrosio, Luigi; Gigli, Nicola; Savaré, Giuseppe (2005), Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures, ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel, ISBN 3-7643-2428-7.
• Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006), Measure theory and probability theory, Springer, ISBN 0-387-32903-X.
• Leoni, Giovanni (2009), A First Course in Sobolev Spaces, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, pp. xvi+607 ISBN 978-0-8218-4768-8, MR2527916, Zbl 1180.46001, MAA
• Nielsen, Ole A. (1997), An introduction to integration and measure theory, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-59518-7.
• Royden, H.L. (1988), Real Analysis (third edición), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3.

• Absolute continuity at Encyclopedia of Mathematics
• Topics in Real and Functional Analysis by Gerald Teschl