Integral de Lebesgue

La teoría de la medida se creó para disponer de un análisis detallado de la noción de longitud de los subconjuntos de puntos de la recta real y, de forma más general, área y volumen de subconjuntos de espacios euclídeos. En particular, esta teoría nos brinda una respuesta sistemática a la pregunta: ¿a qué subconjuntos de R se les puede asociar una longitud? Como se comprobó al desarrollar la teoría de conjuntos, es imposible asociar una longitud a cualquier subconjunto de R de tal manera que se cumplan las propiedades de invariancia por traslación y de aditividad con respecto a la unión conjuntos. Estos conjuntos se llaman no medibles.

Naturalmente, la integral de Riemann usa implícitamente el concepto de longitud. Un elemento básico de este tipo de integral son los rectángulos de base [a, b] y altura [c, d] cuya longitud es (b - a) y cuya área es (b-a)·(d-c).

En el desarrollo de la teoría los libros más modernos (posteriores a 1950) se usa el método axiomático para definir la medida, es decir, que una medida es una función μ definida sobre ciertos subconjuntos de un conjunto E que satisface una lista de propiedades.

Consideremos μ una medida no negativa sobre σ-álgebra X de subconjuntos de E. Por ejemplo, E puede ser un espacio euclídeo n dimensional Rⁿ o algún subconjunto medible de él, X puede ser el σ-álgebra de todos los subconjuntos medibles de E, y μ puede ser la medida de Lebesgue. En la teoría de la probabilidad μ puede ser una función de probabilidad sobre un espacio de probabilidad E.

En la teoría de Lebesgue, el cálculo de integrales se restringe a un tipo de funciones llamadas funciones medibles. Una función es medible si la preimagen de cualquier intervalo cerrado pertenece a X, es decir, es un conjunto medible:

${\displaystyle f^{-1}([a,b])\in X{\mbox{ para todo }}a<b.}$

El conjunto de funciones medibles es cerrado bajo operaciones algebraicas, aunque más importante es el hecho de que esta clase también es cerrada al tomar límites de sucesiones de funciones:

${\displaystyle \liminf _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \limsup _{k\in \mathbb {N} }f_{k}}$

es medible si las funciones que forman los términos de la sucesión {f_k}, k ${\displaystyle \in }$ N, son también medibles.

Vamos a construir la integral de Lebesgue : ${\displaystyle \int _{E}fd\mu \quad }$ para funciones reales medibles f construidas sobre E en varias etapas calculando las integrales de funciones sencillas:

Función característica o indicadora: Dado un subconjunto S medible contenido en E, la función característica 1_S toma valor 1 para los elementos pertenecientes a S y 0 para el resto.

${\displaystyle \mathbf {1} _{S}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{si}}\ x\in S\\0&{\mbox{si}}\ x\notin S\end{matrix}}\right.}$

La integral de esta función ha de ser la medida del conjunto S.

${\displaystyle \int 1_{S}d\mu =\mu (S)}$

Función simple: Una función simple es de la forma ${\displaystyle \phi =\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}}$, donde a_k son números reales y la suma es finita.

A partir del caso anterior más sencillo se puede asumir que el resultado de integrar una función simple sea:

${\displaystyle \int \phi d\mu =\int {\bigg (}\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}{\bigg )}d\mu =\sum _{k}a_{k}\int 1_{S_{k}}d\mu =\sum _{k}a_{k}\mu (S_{k})}$

A pesar de que una función simple se pueda expresar como distintas sumas, el resultado de la integral no varía.

Función no negativa: Sea f una función no negativa medible sobre E. Se define

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\sup \left\{\,\int _{E}\phi \,d\mu$ :\phi \leq f,\ \phi \ {\mbox{simple}}\,\right\}}

Funciones con signo: Una función con signo definida sobre E se puede escribir como suma de dos funciones no negativas:

${\displaystyle f=f^{+}-f^{-},\quad }$

donde

${\displaystyle f^{+}(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x)&{\mbox{si}}\quad f(x)>0\\0&{\mbox{en otro caso}}\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle f^{-}(x)=\left\{{\begin{matrix}-f(x)&{\mbox{si}}\quad f(x)<0\\0&{\mbox{en otro caso}}\end{matrix}}\right.}$

Si ambas integrales verifican

${\displaystyle \int f^{+}d\mu <\infty ,\quad \int f^{-}d\mu <\infty ,}$

entonces se puede definir la integral de Lebesgue de f (x) de la siguiente manera

${\displaystyle \int fd\mu =\int f^{+}d\mu -\int f^{-}d\mu }$

Folland[2] resumió los dos distintos modos de aproximarse al concepto de integral de la siguiente forma: «para calcular la integral de Riemann se particiona (divide) el dominio [a, b] en subintervalos», mientras que en la integral de Lebesgue «se particiona el rango de f».

Imaginemos que queremos calcular el área de una curva. Tenemos dos métodos distintos para encontrar una aproximación a esta área:

• Método de Riemann-Darboux, en el cual dividimos la curva en columnas con la misma base y altura la correspondiente a la curva en el centro de la columna. El área de cada columna es igual a su altura por su base, y el área total de la curva viene dada aproximadamente por la suma de las áreas de todas las columnas. Este caso es equivalente a particionar el intervalo horizontal [a, b].

• Método de Lebesgue, en el cual hacemos una partición en la imagen en capas horizontales, calculamos sus imágenes inversas y sumamos las áreas f(c_k)*μ(f^-1([y_i-1,y_i])), donde c_k pertenece al sector en la partición. El área total de la curva será aproximada por la suma de las áreas de todas las áreas del tipo anterior (a_k μ(S_k)), que son uniones de rectángulos de misma altura.

Consideremos la función característica de los racionales ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$ definida sobre el intervalo ${\displaystyle [0,1]}$. Esta función no es continua en ningún punto de su dominio, ¿será integrable?

• ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$' no es integrable en el sentido de Riemann ${\displaystyle [0,1]}$: no importa cuán fina sea una partición del intervalo ${\displaystyle [0,1]}$, cualquier subintervalo contendrá al menos un número racional y otro número irracional, ya que ambos conjuntos son densos en los reales. Por tanto, cualquier suma superior será 1, así como el ínfimo de todas las sumas superiores (suma superior de Riemann-Darboux) y cualquier suma inferior será 0, igual que el supremo de todas las sumas inferiores (suma inferior de Riemann-Darboux). Si el supremo y el ínfimo son distintos la integral de Riemann no existe.

• ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$ sí es integrable en el sentido de Lebesgue sobre ${\displaystyle [0,1]}$: dado que es la función indicadora de los números racionales, por definición

${\displaystyle \int _{[0,1]}1_{\mathbb {Q} }\,d\mu =\mu (\mathbb {Q} \cap [0,1])=0,}$

ya que ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ es numerable.