Coordenadas parabólicas

Las coordenadas parabólicas bidimensionales para ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ se definen por las ecuaciones:

${\displaystyle x=\sigma \tau \,}$

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}$

Las curvas con ${\displaystyle \sigma }$ constante forman parábolas cofocales

${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

volteada para arriba (en sentido ${\displaystyle +y}$), sucede que las curvas con ${\displaystyle \tau }$ constantes forman parábolas confocales

${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

volteadas para abajo (en sentido ${\displaystyle -y}$). Los focos de todas las parábolas se ubican en el origen.

Los factores de escalas para coordenadas parabólicas ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ equivalen a:

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

Para un elemento infinitesimal de área es

${\displaystyle dA=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau }$

Su Laplaciano es:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)}$

Otros operadores diferenciales tales como ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ y ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ pueden expresarse para coordenadas (σ, τ) substituyendo los factores de escala son fórmulas generales para coordenadas ortogonales.

Superficies de coordenadas para coordenadas parabólicas tridimensionales. El paraboloide rojo corresponde a τ=2, el paraboloide azul corresponde a σ=1 y el semiplano amarillo corresponde a φ =- 60 °. Las tres superficies se intersectan en el punto P (mostrado como una esfera negra) de coordenadas cartesianas aproximadamente iguales a (1,0; -1,732; 1,5).

Las coordenadas parabólicas bidimensionales forman la base para dos conjuntos de coordenadas ortogonales tridimensionales. Las coordenadas cilíndricas parabólicas son producidas por proyección en la dirección ${\displaystyle z}$.

La rotación sobre el eje de simetría de las parábolas produce un conjunto de paraboloides confocales, formando un sistema de coordenadas que también es conocido como "coordenadas parabólicas"

${\displaystyle x=\sigma \tau \cos \varphi }$

${\displaystyle y=\sigma \tau \sin \varphi }$

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}$

donde las parábolas están alineadas con el eje ${\displaystyle z}$, sobre el cual la rotación ha sido realizada. Así, el ángulo azimutal ${\displaystyle \phi }$ es definido por

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {y}{x}}}$

Las superficies cuyo ${\displaystyle \sigma }$ es constante forman paraboloides confocales

${\displaystyle 2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

Con concavidades hacia arriba (o sea, en sentido ${\displaystyle +z}$), mientras que las superficies con ${\displaystyle \tau }$ constante forman paraboloides confocales

${\displaystyle 2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

de concavidad hacia abajo (o sea, en sentido ${\displaystyle -z}$). Los focos de todos estos paraboloides están localizados en el origen.

El tensor métrico de Riemann asociado a este sistema de coordenadas es

${\displaystyle g_{ij}={\begin{bmatrix}\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0&0\\0&\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0\\0&0&\sigma ^{2}\tau ^{2}\end{bmatrix}}}$

Los tres factores de escala tridimensionales son:

${\displaystyle h_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

${\displaystyle h_{\varphi }=\sigma \tau \,}$

Nótese que los factores de escala ${\displaystyle h_{\sigma }}$ y ${\displaystyle h_{\tau }}$ son los mismos del caso bidimensional. El elemento infinitesimal de volumen es entonces

${\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }d\sigma \,d\tau \,d\varphi =\sigma \tau \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi }$

Y el laplaciano es dado por

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}}$

Otros operadores diferenciales tales como ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ y ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ pueden ser expresados en coordenadas ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$ sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales encontradas en coordenadas ortogonales.

La conversión de coordenadas cartesianas para las parabólicas se realiza a través de la siguiente transformación:

${\displaystyle \xi ={\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}+z}},}$

${\displaystyle \eta ={\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}-z}},}$

${\displaystyle \phi =\arctan {y \over x}.}$

El Jacobiano de la transformación dada coordina términos infinitesimales como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d\eta \\d\xi \\d\phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&-1+{\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&1+{\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}dx\\dy\\dz\end{bmatrix}}}$

en condiciones

${\displaystyle \eta \geq 0,}$ y ${\displaystyle \xi \geq 0.}$

Si φ = 0, a continuación, se obtiene una sección transversal; coordenadas limitado al plano

xz:

${\displaystyle \eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}},}$

${\displaystyle \xi =z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}.}$

Sea η=c (una constante), entonces

${\displaystyle \left.z\right|_{\eta =c}={x^{2} \over 2c}-{c \over 2}.}$

Esta es una parábola con foco en el origen, para cualquier valor c. Seu eixo de simetria da parábola é vertical e sua concavidade é voltada para cima.

Se ξ=c entonces

${\displaystyle \left.z\right|_{\xi =c}={c \over 2}-{x^{2} \over 2c}.}$

Esta es una parábola con foco en el origen, para cualquier valor de 'c'. Su eje de simetría es vertical y su concavidad es para abajo.

Ahora considere cualquier parábola η = c para arriba y toda parábola ξ = b hacia abajo. Es deseable encontrar su intersección:

${\displaystyle {x^{2} \over 2c}-{c \over 2}={b \over 2}-{x^{2} \over 2b},}$

se reanuda,

${\displaystyle {x^{2} \over 2c}+{x^{2} \over 2b}={b \over 2}+{c \over 2},}$

evidenciando x²,

${\displaystyle x^{2}\left({b+c \over 2bc}\right)={b+c \over 2},}$

se cancelan los factores comunes de ambos lados

${\displaystyle x^{2}=bc,\,}$

tomando su raíz cuadrada,

${\displaystyle x={\sqrt {bc}}.}$

x es la media geométrica de b e c. La abscisala intersección ha sido encontrado. Vamos a encontrar ordenada. Substituyendo el valor de x en la ecuación parábola volteada para arriba:

${\displaystyle z_{c}={bc \over 2c}-{c \over 2}={b-c \over 2},}$

en seguida, substituyendo el valor de x la ecuación de la parábola hacia abajo:

${\displaystyle z_{b}={b \over 2}-{bc \over 2b}={b-c \over 2}.}$

z_c = z_b, con debería ser. Por lo tanto, el punto de intersección es

${\displaystyle P:\left({\sqrt {bc}},{b-c \over 2}\right).}$

Dibuje un par de tangentes a través del punto P, cada tangente en cada parábola. La línea tangente por el punto

P la parábola superior tiene inclinación:

${\displaystyle {dz_{c} \over dx}={x \over c}={{\sqrt {bc}} \over c}={\sqrt {b \over c}}=s_{c}.}$

La recta tangente a través del punto P la parábola inferior tiene inclinación:

${\displaystyle {dz_{b} \over dx}=-{x \over b}={-{\sqrt {bc}} \over b}=-{\sqrt {c \over b}}=s_{b}.}$

El producto de las dos vertientes es

${\displaystyle s_{c}s_{b}=-{\sqrt {b \over c}}{\sqrt {c \over b}}=-1.}$

El producto de las pendientes es una "pendiente negativa" porque las rectas son perpendiculares. Esto es cierto para cualquier par de parábolas con huecos en direcciones opuestas.

Assim, um par de parábolas intercepta-se em dois pontos, mas quando φ é zero, ele realmente limita as outras coordenadas ξ e η a se moverem no semiplano com x>0, pois x<0 corresponde a φ = π.

Por lo tanto, un par de ξ y η coordenadas especificar un solo punto en el semiplano. Al hacerlo φ entre 0 y 2π, el semiplano vuelve al punto (alrededor del eje "z", que es la bisagra): El formulario de paraboloides. OUn par de paraboloides opuestas forman círculo, y el valor de φ especifica un semiplano que corta a través de la intersección de círculo en un solo punto. Las coordenadas cartesianas de los puntos son [Menzel, p. 139]:

${\displaystyle x={\sqrt {\xi \eta }}\cos \phi ,}$

${\displaystyle y={\sqrt {\xi \eta }}\sin \phi ,}$

${\displaystyle z={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(\xi -\eta ).}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\xi }{\eta }}}\cos \phi &{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\eta }{\xi }}}\cos \phi &-{\sqrt {\xi \eta }}\sin \phi \\{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\xi }{\eta }}}\sin \phi &{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\eta }{\xi }}}\sin \phi &{\sqrt {\xi \eta }}\cos \phi \\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\phi \end{vmatrix}}}$

• Coordenadas cilíndricas parabólicas
• Sistema de coordenada ortogonal
• Coordenadas curvilíneas

• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. pp. 660. ISBN 0-07-043316-X.
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 185–186.
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 180. ASIN B0000CKZX7.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. p. 96.
• Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 114. ISBN 0-86720-293-9. Mismo cuando Morse & Feshbach (1953), sustituyendo uk para ξk.
• Moon P, Spencer DE (1988). «Parabolic Coordinates (μ, ν, ψ)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print edición). New York: Springer-Verlag. pp. 34-36 (Table 1.08). ISBN 978-0-387-18430-2.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Parabolic coordinates», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.", , ,
• MathWorld Descripción de coordenadas parabólicas