Cortes de Dedekind

Dados dos cortes ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ diremos que ${\displaystyle A\leq B}$ si y solo si ${\displaystyle A\subseteq B}$, lo que equivale a que ${\displaystyle \sup(A)\leq \sup(B)}$.

En el conjunto de los números reales (conjunto de todos los cortes), ${\displaystyle \leq }$ es una relación de orden, que es orden total, pero no es buen orden.

Denominamos cero a la cortadura racional ${\displaystyle A_{0}:=\{r\in \mathbb {Q} :r<0\}}$.

Diremos que un corte ${\displaystyle A}$ es un número positivo si ${\displaystyle A_{0}\leq A}$.

Diremos que un corte ${\displaystyle A}$ es un número negativo si ${\displaystyle A\leq A_{0}}$.

Diremos que un corte ${\displaystyle A}$ es estrictamente positivo o no negativo si ${\displaystyle A_{0}<A}$.

Diremos que un corte ${\displaystyle A}$ es estrictamente negativo o no positivo si ${\displaystyle A<A_{0}}$.

Dados dos cortes arbitrarios ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ definimos su suma como el conjunto ${\displaystyle A+B:=\{a+b:a\in A,b\in B\}}$. ${\displaystyle A+B}$ es un corte, con lo que + representa una operación binaria en el conjunto de los números reales, operación denominada adición.

La adición provee al conjunto de los números reales de estructura de grupo abeliano, es decir, en ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ se verifican las propiedades asociativa, , existencia de elemento neutro (${\displaystyle A_{0}}$) y existencia para cada corte ${\displaystyle A}$ de un elemento simétrico (opuesto) ${\displaystyle -A:=\{r\in \mathbb {Q}$ :\exists s\in \mathbb {Q} \setminus A,s<-r\}} y la propiedad conmutativa .

Además, se da la compatibilidad de la suma con el orden, es decir, si ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ son cortes y ${\displaystyle A\leq B}$, entonces, cualquiera que sea el corte ${\displaystyle C}$, se cumple que ${\displaystyle A+C\leq B+C}$.

Por último, la suma en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ es una extensión de la suma en ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, esto es, si ${\displaystyle r,s\in \mathbb {Q} }$, entonces ${\displaystyle A_{r}+A_{s}=A_{r+s}}$.

la multiplicación de cortes no es tan sencilla de definir como la adición, se hace por casos.

Sean ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ dos cortes:

• Si ${\displaystyle A>A_{0}}$ y ${\displaystyle B>A_{0}}$, definimos el conjunto ${\displaystyle A\cdot B:=\{a\cdot b:a\in A,b\in B,a\geq 0,b\geq 0\}\cup A_{0}}$. Entonces ${\displaystyle A\cdot B}$ es un corte y además es ${\displaystyle A\cdot B>A_{0}}$.

• Si ${\displaystyle A>A_{0}}$ y ${\displaystyle B<A_{0}}$, definimos el conjunto ${\displaystyle A\cdot B:=-(A\cdot (-B))}$. Así ${\displaystyle A\cdot B}$ es un corte y además es ${\displaystyle A\cdot B<A_{0}}$.

• Si ${\displaystyle A<A_{0}}$ y ${\displaystyle B>A_{0}}$, definimos el conjunto ${\displaystyle A\cdot B:=-((-A)\cdot B)}$. Se cumple que ${\displaystyle A\cdot B}$ es un corte y además es ${\displaystyle A\cdot B<A_{0}}$.

• Si ${\displaystyle A<A_{0}}$ y ${\displaystyle B<A_{0}}$, definimos el conjunto ${\displaystyle A\cdot B:=(-A)\cdot (-B)}$. Se verifica que ${\displaystyle A\cdot B}$ es un corte y además es ${\displaystyle A\cdot B>A_{0}}$.

• Si ${\displaystyle A=A_{0}}$ o ${\displaystyle B=A_{0}}$, definimos el conjunto ${\displaystyle A\cdot B:=A_{0}}$.

En cualquier caso, ${\displaystyle A\cdot B}$ es un corte, con lo que ${\displaystyle \cdot }$ es una operación interna en el conjunto de los números reales, operación que denominaremos multiplicación.

La multiplicación cumple las propiedades , asociativa, existe un elemento neutro ${\displaystyle A_{1}}$ para el producto, y si ${\displaystyle A}$ no es el corte cero, entonces existe elemento simétrico del corte ${\displaystyle A}$ para el producto, denominado inverso de ${\displaystyle A}$, y definido por ${\displaystyle A^{-1}:=\left\{r\in \mathbb {Q} :r>0,\exists s\in \mathbb {Q} \setminus A,s<{\dfrac {1}{r}}\right\}\cup A_{0}\cup \{0\}}$, si ${\displaystyle A>A_{0}}$, y por ${\displaystyle A^{-1}:=-((-A)^{-1})}$ cuando ${\displaystyle A<A_{0}}$ y la propiedad conmutativa. Con estas propiedades, ${\displaystyle (\mathbb {R} \setminus \{A_{0}\},\cdot )}$ es un grupo abeliano.

Distributiva

El producto en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ es distributivo respecto de la suma. De esta manera ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$ tiene estructura de cuerpo.

Con la relación de orden

El producto es compatible con el orden de los reales positivos: si ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ y ${\displaystyle C}$ son cortes con ${\displaystyle A\leq B}$ y ${\displaystyle C\geq A_{0}}$, entonces ${\displaystyle A\cdot C\leq B\cdot C}$.

No hay divisores de cero

Si ${\displaystyle A\cdot B=A_{0}}$, entonces se prueba que bien ${\displaystyle A=A_{0}}$ o bien ${\displaystyle B=A_{0}}$.

Extensión

El producto en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ es extensión del producto en ${\displaystyle \mathbb {Q} }$: si ${\displaystyle r,s\in \mathbb {Q} }$, entonces ${\displaystyle A_{r}\cdot A_{s}=A_{r\cdot s}}$.

• ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (el conjunto de los números naturales) no está acotado superiormente en ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ es arquimediano: dados dos elementos ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$, arbitrarios ${\displaystyle x>0}$, existe un número natural ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ de forma que ${\displaystyle y<n\cdot x}$.

• Entre dos números reales distintos siempre existen infinitos números reales (infinitos números racionales e infinitos números irracionales).

• Dado cualquier ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ se verifica que ${\displaystyle x=\mathrm {sup} \{r\in \mathbb {Q} :r<x\}=\mathrm {inf} \{s\in \mathbb {Q} :x<s\}}$.

• Dedekind, Richard (1872), Continuidad y números irracionales, consultado el 12 de noviembre de 2013.