Curvas IDF

Existe un gran número de aproximaciones empíricas que relacionan la intensidad (I), la duración (t) y el período de retorno (p), a partir de ajustes a potencias tales como:

• Fórmula de Sherman (1931),[4] con tres parámetros (a, c y n), que están en función del período de retorno, p:

${\displaystyle I(t)={\frac {a}{(t+c)^{n}}}}$

• Fórmula de Chow (1962),[5] también con tres parámetros (a, c y n), para un período de retorno p determinado:

${\displaystyle I(t)={\frac {a}{t^{n}+c}}}$

• Función potencial, según Aparicio (1997),[6] con cuatro parámetreos (k, c, m y n), ya ajustados para todos los períodos de retorno de interés:

${\displaystyle I(t,p)=k*{\frac {p^{m}}{(t+c)^{n}}}}$

Para obtener una curva IDF a partir de una distribución de probabilidad, ${\displaystyle \ F(x)}$, es necesario aislar matemáticamente la precipitación ${\displaystyle \ x}$, que está directamente relacionada con la intensidad media ${\displaystyle \ I}$ y la duración ${\displaystyle \ t}$, mediante la ecuación ${\displaystyle \ x=I*t}$, y puesto que el período de retorno se define como la inversa de ${\displaystyle \ 1-F(x)}$, podemos encontrar la función ${\displaystyle \ f(p)}$ como la inversa de ${\displaystyle \ F(x)}$, según:

${\displaystyle \ I*t=f(p)\quad \Leftarrow \quad p={\frac {1}{1-F(I*t)}}}$

• Función potencial con el período de retorno, deducida a partir de la distribución de Pareto, para una duración ${\displaystyle \ t}$ determinada:

${\displaystyle \ I(p)=k*{p^{m}}\quad \Leftarrow \quad F(I*t)=1-{\left({\frac {k*t}{I*t}}\right)}^{1/m}=1-{\frac {1}{p}}}$

donde se ha redefinido la constante de la distribución de Pareto como ${\displaystyle \ k'=k*t}$, ya que se trata de una distribución válida para una duración concreta de la precipitación, ${\displaystyle \ x}$, que se ha tomado como ${\displaystyle \ x=I*t}$.

• Función deducida a partir de la Distribución Generalizada de Pareto, para una duración ${\displaystyle \ t}$ determinada:

${\displaystyle I(p)={\begin{cases}\ \mu +{\frac {\sigma }{m}}*(p^{m}-1)\quad \Leftarrow \quad F(I)=1-\left(1+{\frac {m(I-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/m}=1-{\frac {1}{p}}&{\text{si }}m>0,\\\quad \mu +\sigma *ln(p)\quad \quad \Leftarrow \quad F(I)=1-exp{\left(-{\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)}=1-{\frac {1}{p}}&{\text{si }}m=0.\end{cases}}}$

Nótese que para ${\displaystyle \ m>0}$ y ${\displaystyle \ \mu ={\frac {\sigma }{m}}}$, la Distribución Generalizada de Pareto recupera la forma simple de la Distribución de Pareto, con ${\displaystyle \ k'={\frac {\sigma }{m}}}$. En cambio, con ${\displaystyle \ m=0}$ se recupera la distribución exponencial.

• Función deducida a partir de la distribución de Gumbel y la distribución de Gumbel opuesta, para una duración ${\displaystyle \ t}$ determinada:

${\displaystyle I(p)=\mu +\sigma *ln{\left(-ln{\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}\right)}\quad \Leftarrow \quad \quad F(I)=exp{\left(-exp{\left(-{\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)}\right)}=1-{\frac {1}{p}}}$

${\displaystyle I(p)=\mu +\sigma *ln(ln(p))\quad \quad \quad \quad \quad \Leftarrow \quad \quad F(I)=1-exp{\left(-exp{\left({\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)}\right)}=1-{\frac {1}{p}}}$

• Las aproximaciones semi-empíricas se pueden construir combinando las anteriores aproximaciones. Por ejemplo, la función potencial de Aparicio (1997), se puede deducir en parte a partir de la Distribución de Pareto o la Distribución Generalizada de Pareto y la de Sherman; Por otro lado, si se combina la fórmula de Sherman con la distribución exponencial se obtiene que:

${\displaystyle \ I(p,t)={\frac {\sigma *ln(p)+\mu }{(t+c)^{n}}}}$

• Si se combina la fórmula de Sherman con la distribución de Gumbel opuesta, se obtiene:

${\displaystyle \ I(p,t)={\frac {\sigma *ln(ln(p))+\mu }{(t+c)^{n}}}}$