Curvatura media

Sea ${\displaystyle p}$ un punto sobre la superficie ${\displaystyle S}$. Considérense todas las curvas ${\displaystyle C_{i}}$ sobre ${\displaystyle S}$ que pasan a través del punto ${\displaystyle p}$ sobre la superficie. Tales ${\displaystyle C_{i}}$ tienen una curvatura asociada ${\displaystyle K_{i}}$ dada en ${\displaystyle p}$. De todas esas curvaturas ${\displaystyle K_{i}}$, al menos una está caracterizada como máxima, ${\displaystyle \kappa _{1}}$ y otra como mínima, ${\displaystyle \kappa _{2}}$, y esas dos curvaturas ${\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2}}$ son conocidas como las curvaturas principales de ${\displaystyle S}$.

La curvatura media en ${\displaystyle p\in S}$ es la media de las curvaturas (Spivak, 1999, Volumen 3, Capítulo 2), y de ahí su nombre:

${\displaystyle H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2}).}$

La curvatura media se puede calcular respecto a los coeficientes de la primera y segunda forma fundamental (Do carmo[3] 1976, capítulo 3, sección 3)

${\displaystyle H={Eg-2fF+Ge \over 2(EG-F^{2})}.}$

A partir de esta relación y la fórmula de la curvatura Gaussiana se puede definir el polinomio

${\displaystyle P(\kappa )=\kappa ^{2}-2HK\kappa +K.}$

Cuyas raíces son las curvaturas principales ${\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2}}$.

En general (Spivak, 1999, Volumen 4, Capítulo 7), para una hipersuperficie ${\displaystyle T}$ la curvatura media está dada por

${\displaystyle H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}.}$

• Curvatura gaussiana
• Energía de Willmore

• Spivak, Michael (1999), A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) (3rd edición), Publish or Perish Press, ISBN 0-914098-72-1 (Volume 3), ISBN 0-914098-73-X (Volume 4)..
• Weisstein, Eric W. «Mean curvature». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Do Carmo, Manfredo (1976), Differential Geometry o Curves and Surfaces (1st edición), Prentice Hall, ISBN 0132125897.