Desigualdad de Poincaré

Sea p, tal que 1≤p<∞ y Ω un subconjunto con al menos un borde. Entonces existe una constante C, dependiendo sólo de Ω y p , tal que para cada función u del Espacio de Sóbolev W₀^1,p(Ω) se tiene:

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )},}$

Asumiendo que 1 ≤ p ≤ ∞ y que Ω es a subconjunto abierto acotado y conexo del espacio euclídeo n-dimensional Rⁿ con un dominio de Lipschitz. Entonces existe una constante C, dependiente solo de Ω y p, tal que para función u en el espacio de Sóbolev W^1,p(Ω) se tiene:

${\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )},}$

donde

${\displaystyle u_{\Omega }={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }u(y)\,\mathrm {d} y}$

es el valor medio de u sobre Ω, con |Ω| representando la medida de Lebesgue del dominio Ω. Cuando Ω es una bola, la desigualdad superior es llamada una (p,p)-desigualdad de Poincaré; para dominios más generales Ω, se conoce como desigualdad de Sóbolev.

En el contexto de espacios métricos, estos espacios soportanuna (q,p)-desigualdad de Poincaré para ${\displaystyle 1\leq q,p<\infty }$ si hay constantes C y ${\displaystyle \lambda \geq 1}$ de modo que para cada bola B en tal espacio se tiene lo siguiente:

${\displaystyle \mu (B)^{-1/q}\|u-u_{B}\|_{L^{q}(B)}\leq C{\text{rad}}(B)\mu (B)^{-1/p}\|\nabla u\|_{L^{p}(\lambda B)}.}$

En el contexto de espacios métricos, ${\displaystyle |\nabla u|}$ es el mínimo p-débil gradiente superior de u en el sentido de Heinonen y Koskela [J. Heinonen and P. Koskela, Quasiconformal maps in metric spaces with controlled geometry, Acta Math. 181 (1998), 1–61]

Existen otras generalizaciones de la desigualdad de Poincaré en otros espacios de Sóbolev. Por ejemplo, el siguiente (Garroni y Müller (2005)) es una desigualdad de Poincaré para el espacio de Sóbolev H^1/2(T²), es decir, el espacio de funciones u en el espacio L² del toro T² con la transformada de Fourier û satisfaciendo:

${\displaystyle [u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{2}}|k|{\big |}{\hat {u}}(k){\big |}^{2}<+\infty }$

existe una constante C tal que para cada u ∈ H^1/2(T²) con u identicamente cero en un abierto E ⊆ T2 se tiene:

${\displaystyle \int _{\mathbf {T} ^{2}}|u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\leq C\left(1+{\frac {1}{\mathrm {cap} (E\times \{0\})}}\right)[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2},}$

donde cap(E × {0}) denota la capacidad armónica de E × {0} cuando se ve como un subconjunto de R³.