Diferencial (matemática)

Sean ${\displaystyle M_{}^{},N}$ variedades diferenciables, ${\displaystyle F:M\longrightarrow {}N}$ una aplicación diferenciable y ${\displaystyle p\in M}$, llamaremos diferencial de ${\displaystyle F_{}^{}}$ a

${\displaystyle {\begin{matrix}{\forall d_{p}F:}&{{\mathcal {T}}_{p}M}&\longrightarrow {}&{{\mathcal {T}}_{F(p)}N}\\&{\delta }&\mapsto &{\begin{matrix}d_{p}F(\delta ):&{\mathcal {F}}(M)&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&g&\mapsto &d_{p}F(\delta )(g):=\delta (g\circ F).\end{matrix}}\end{matrix}}}$.

Observaciones

Queda claro que ${\displaystyle \delta _{}^{}}$ es ${\displaystyle \delta _{p}^{}}$, ya que ${\displaystyle p_{}^{}}$ es redundante pues hablamos de elementos de ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{p}M}$ y, es decir, derivaciones a ${\displaystyle M_{}^{}}$ precisamente en ${\displaystyle p_{}^{}}$.

Veamos que está bien definida, es decir, que ${\displaystyle d_{p}F(\delta )\in {\mathcal {T}}_{F(p)}N}$ como se ha requerido:

${\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(N),\forall \lambda \in \mathbb {R} }$,

• ${\displaystyle d_{p}^{}F(\delta )(f+g)=\delta ((f+g)\circ F)=\delta (f\circ F+g\circ F)=\delta (f\circ F)+\delta (g\circ F)=d_{p}F(\delta )(f)+d_{p}F(\delta )(g),}$

• ${\displaystyle d_{p}^{}F(\delta )(\lambda f)=\delta ((\lambda f)\circ F)=\delta (\lambda (f\circ F))=\lambda \delta (f\circ F)=\lambda d_{p}F(\delta )(f),}$

${\displaystyle d_{p}^{}F(\delta )(f\cdot g)=\delta ((f\cdot g)\circ F)=\delta ((f\circ F)\cdot (g\circ F))=\delta (f\circ F)(g\circ F)(p)+(f\circ F)(p)\delta (g\circ F)=d_{p}F(\delta )(f)g_{|F(p)}+f_{|F(p)}d_{p}F(\delta )(g)}$,

y, por tanto, es una derivación; en resumen, el diferencial de una derivación es una derivación.

Veamos finalmente que ${\displaystyle d_{p}^{}F}$ es ${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineal:

${\displaystyle \forall \delta _{1},\delta _{2}\in {\mathcal {T}}_{p}M,\forall f\in {\mathcal {F}}(N)\;y\;\forall \lambda \in \mathbb {R} }$, tenemos

• ${\displaystyle d_{p}^{}F(\delta _{1}+\delta _{2})(f)=(\delta _{1}+\delta _{2})(f\circ F)=\delta _{1}(f\circ F)+\delta _{2}(f\circ F)=d_{p}F(\delta _{1})(f)+d_{p}F(\delta _{2})(f)}$,

• ${\displaystyle d_{p}^{}F(\lambda \delta _{1})(f)=(\lambda \delta _{1})(f\circ F)=\lambda \delta _{1}(f\circ F)=\lambda d_{p}F(\delta _{1})(f)}$,

y por tanto, al ser lineal y bien definida, hereda correctamente las propiedades de suma vectorial y producto por escalar para que los elemento obtenidos en ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{F(p)}N}$, a partir de los elementos de ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{p}M}$, puedan formar un subespacio vectorial, sería deseable conseguir una base para generar totalmente ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{F(p)}N}$.

Así pues, tenemos que ${\displaystyle d_{p}^{}F}$, como aplicación lineal entre espacios vectoriales, queda totalmente determinada por una matriz.

Sean ${\displaystyle M,\;N,\;P_{}^{}}$ variedades diferenciables, ${\displaystyle F:M\rightarrow N}$, ${\displaystyle G:N\rightarrow P}$ y ${\displaystyle p\in M}$, entonces tenemos que:

${\displaystyle d_{p}(G\circ F)=d_{F(p)}G\circ d_{p}F}$.

Demostración

${\displaystyle \forall h\in {\mathcal {F}}(P),}$ ${\displaystyle \forall \delta \in {\mathcal {T}}_{p}M}$, sucesivamente por definición:

${\displaystyle d_{p}(G\circ F)(\delta )(h)=\delta (h\circ G\circ F)=}$${\displaystyle d_{p}F(\delta )(h\circ G)=}$${\displaystyle d_{F(p)}G(d_{p}F(\delta ))(h)=}$${\displaystyle d_{F(p)}G\circ d_{p}F(\delta )(h)}$.

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable, ${\displaystyle Id_{M}:M\rightarrow M}$ y ${\displaystyle p\in M}$, entonces tenemos que:

${\displaystyle d_{p}(Id_{M})=Id_{{\mathcal {T}}_{p}M}}$.

Demostración

${\displaystyle \forall h\in {\mathcal {F}}(P),\forall \delta \in {\mathcal {T}}_{p}M}$,

${\displaystyle d_{p}(Id_{M})(\delta )(h)=\delta (h\circ Id_{M})=}$${\displaystyle \delta (h)}$.

Sea ${\displaystyle M,\;N_{}^{}}$ variedades diferenciables y ${\displaystyle F:M\rightarrow N}$ un difeomorfismo, entonces tenemos que:

${\displaystyle \forall p\in M,\;d_{p}F}$ es un isomorfismo de ${\displaystyle \mathbb {R} }$-espacios vectoriales.

Demostración

Si ${\displaystyle F_{}^{}}$ es un difeomorfismo entonces tenemos que ${\displaystyle \exists G:N\rightarrow M}$ diferenciable: ${\displaystyle F\circ G=Id_{N}}$ y ${\displaystyle G\circ F=Id_{M}}$.

Bastaría considerar los diferenciales ${\displaystyle d_{q}G_{}^{}}$ y ${\displaystyle d_{p}F^{},\;q=F(p)}$, usando sucesivamente las propiedades anteriores tenemos:

${\displaystyle d_{q}G\circ d_{p}F=d_{p}(G\circ F)=}$${\displaystyle d_{p}(Id_{M}^{})=}$${\displaystyle Id_{{\mathcal {T}}_{p}M}}$,

${\displaystyle d_{p}F\circ d_{q}G=d_{q}(F\circ G)=}$${\displaystyle d_{q}(Id_{N}^{})=}$${\displaystyle Id_{{\mathcal {T}}_{q}N}}$.

Por tanto hemos visto que ${\displaystyle d_{p}F_{}^{}}$ es un isomorfismo de ${\displaystyle \mathbb {R} }$-espacios vectoriales.