Ecuación diferencial exacta

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función tal que:

donde y .

Dado que es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:

.

Método de resolución

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

  • Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.
  • Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:
  • Para despejar la función g se deriva con respecto a la variable dependiente de g.
  • Se iguala la derivada parcial recién calculada de con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.


  • Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general .

Factor integrante

Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial llamada factor integrante, tal que:

sea exacta.

Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero solo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fácilmente:

Factor integrante sólo en función de x.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

Cabe decir que para que exista, es condición necesaria y suficiente que el miembro tiene que ser función únicamente de x. (Aclarando que y equivalen a las parciales de estas; y respectivamente).

Ejemplo: , entonces y por lo tanto por lo que tenemos la ecuación exacta:
La solución general viene dada implícitamente por:

Factor integrante sólo en función de y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

Ejemplo: , entonces y por lo tanto por lo que tenemos la ecuación exacta:
La solución general viene dada implícitamente por:

Factor integrante sólo en función de x+y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

Con
Ejemplo: , entonces y por lo tanto por lo que tenemos la ecuación exacta:
La solución general viene dada implícitamente por:

Factor integrante sólo en función de x·y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

Con

Donde M·x

Cabe mencionar que:

Ejemplo: , entonces y por lo tanto por lo que tenemos la ecuación exacta:
La solución general viene dada implícitamente por:

Factor integrante sólo en función de

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

Con
Ejemplo: , entonces y por lo tanto por lo que tenemos la ecuación exacta:
La solución general viene dada implícitamente por:

Bibliografía

  • Tom M. Apostol (1979): Análisis matemático. ISBN 84-291-5004-8.
  • Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. México D.F., México. ISBN 970-686-487-3.
  • Olivos, Elena; Mansilla, Angélica (2005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos. Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile.

Véase también

Este artículo ha sido escrito por Wikipedia. El texto está disponible bajo la licencia Creative Commons - Atribución - CompartirIgual. Pueden aplicarse cláusulas adicionales a los archivos multimedia.