Distribución de Cauchy

En estadística la distribución de Cauchy (a veces también distribución de Lorentz) es una distribución de probabilidad continua cuya función de densidad es

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;x_{0},\gamma )&={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\\[0.5em]&={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\end{aligned}}}$

donde x₀ es el parámetro de corrimiento que específica la ubicación del pico de la distribución, y γ es el parámetro de escala que específica el ancho medio al máximo medio (half-width at half-maximum, HWHM).

En el caso especial donde x₀ = 0 y γ = 1 es denominado la distribución estándar Cauchy con la función de densidad de probabilidad

${\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.\!}$

En general la distribución de Cauchy no tiene valor esperado ni varianza.

Sean ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$ dos variables aleatorias uniformes dentro -1 y 1 y ${\displaystyle U^{2}+V^{2}<1}$, entonces el número ${\displaystyle U/V}$ tiene la distribución Cauchy.

La función de distribución acumulativa (CDF) es:

${\displaystyle F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$

y la función inversa de distribución acumulativa para la distribución Cauchy es

${\displaystyle F^{-1}(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \,\tan \left[\pi \,\left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right].}$

Sea X una variable aleatoria con una distribución Cauchy. Luego la función característica de la distribución Cauchy está bien definida:

${\displaystyle \phi _{x}(t;x_{0},\gamma )=\mathrm {E} (e^{i\,X\,t})=\exp(i\,x_{0}\,t-\gamma \,|t|).\!}$

Aplicación de la distribución de probabilidad acumulada de Cauchy a lluvias diárias máximas.[1]