Distribución beta-binomial

Los tres momentos en crudo son:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&={\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}\\[8pt]\mu _{2}&={\frac {n\alpha [n(1+\alpha )+\beta ]}{(\alpha +\beta )(1+\alpha +\beta )}}\\[8pt]\mu _{3}&={\frac {n\alpha [n^{2}(1+\alpha )(2+\alpha )+3n(1+\alpha )\beta +\beta (\beta -\alpha )]}{(\alpha +\beta )(1+\alpha +\beta )(2+\alpha +\beta )}}\end{aligned}}}$

Y la curtosis es:

${\displaystyle \beta _{2}={\frac {(\alpha +\beta )^{2}(1+\alpha +\beta )}{n\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +n)}}\left[(\alpha +\beta )(\alpha +\beta -1+6n)+3\alpha \beta (n-2)+6n^{2}-{\frac {3\alpha \beta n(6-n)}{\alpha +\beta }}-{\frac {18\alpha \beta n^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}\right].}$

Siendo ${\displaystyle \pi ={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}$ podemos notar, que la media puede ser escrito como:

${\displaystyle \mu ={\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}=n\pi \!}$

y la variación como:

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {n\alpha \beta (\alpha +\beta +n)}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}=n\pi (1-\pi ){\frac {\alpha +\beta +n}{\alpha +\beta +1}}=n\pi (1-\pi )[1+(n-1)\rho ]\!}$

donde ${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\alpha +\beta +1}}\!}$. El parámetro ${\displaystyle \rho \!}$ es conocido como "Clase interna" o "Grupo interno". Es ésta la correlación positiva la cual da alcance a la sobredepresión.

La siguiente relación recurrente afirma que:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}(\alpha +k)(n-k)p(k)-(k+1)p(k+1)(\beta -k+n-1)=0,\\[10pt]p(0)={\frac {(\beta )_{n}}{(\alpha +\beta )_{n}}}\end{array}}\right\}}$

Mientras que las formas cerradas de estimaciones de máxima verosimilitud no son prácticas, dado que un pdf está formado por funciones comunes, las cuales pueden ser fácilmente encontradas por la vía de la optimización numérica. La estimación de máxima verosimilitud estima mediante datos empíricos que pueden ser computados usando métodos generales para adaptar las distribuciones multinomiales Pòlya, métodos descritos en Minka 2003. El paquete de R VGAM, a través de la función vglm, con estimación de máxima verosimilitud, facilita la adecuación de modelos tipo glm con respuestas distribuidas de acuerdo con la distribución beta-binomial. Nótese también que no hay requerimientos, que n está ajustado a través de las observaciones.

Los datos siguientes indican el número de niños entre los 12 primeros jóvenes de familias de 13 integrantes en 6115 familias cogidas de los historiales médicos del siglo XIX en Saxony. El 13º joven es ignorado para mitigar el efecto de familias no aleatoriamente escogidas, parando cuando el género deseado es alcanzado.

Podemos observar que los primeros dos momentos de muestra son:

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=6.23\\m_{2}&=42.31\\n&=12\end{aligned}}}$

y que por lo tanto el método de estimaciones de momentos es:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\alpha }}&=34.1350\\{\hat {\beta }}&=31.6085.\end{aligned}}}$

La estimación de máxima verosimilitud es encontrada numéricamente:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\alpha }}_{\mathrm {mle} }&=34.09558\\{\hat {\beta }}_{\mathrm {mle} }&=31.5715\end{aligned}}}$

y que el logaritmo de máxima verosimilitud maximizado es:

${\displaystyle \log {\mathcal {L}}=-12492.9}$

de lo cual podemos deducir que el AIC

${\displaystyle {\mathit {AIC}}=24989.74.}$

El AIC para concurrir el modelo binomial es AIC = 25070.34 y por lo cual podemos ver que el modelo beta-binomial provee un ajuste superior al de los datos. P.E. hay una evidencia para sobre-depresión. Trivers and Willard publicó una justificación teórica para heterogeneidad (también conocida como "explosividad") en la propensión de género entre los mamíferos descendientes, es decir, la sobre-depresión. P.E.

El ajuste superior es evidente sobre todo en las colas: