Distribución Bernoulli

Su función de probabilidad es

${\displaystyle \operatorname {P} [X=x]=p^{x}(1-p)^{1-x}\qquad x=0,1}$

lo anterior es equivalente a escribir

${\displaystyle \operatorname {P} [X=x]={\begin{cases}1-p&{\mbox{si }}x=0\\p&{\mbox{si }}x=1\end{cases}}}$

en ocasiones también suele escribirse como

${\displaystyle \operatorname {P} [X=x]=px+(1-p)(1-x)\qquad x=0,1}$

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bernoulli} (p)}$ está dada por

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x<0\\1-p&0\leq x<1\\1&x\geq 1\end{cases}}}$

Su media está dada por

${\displaystyle \operatorname {E} \left[X\right]=p}$

Esta se demuestra fácilmente utilizando la definición de esperanza

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=0\cdot \operatorname {P} [X=0]+1\cdot \operatorname {P} [X=1]\\&=p\end{aligned}}}$

con lo anterior es fácil obtener una expresión para ${\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]}$ pues

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X^{2}]&=\sum _{x=0}^{1}x^{2}p^{x}(1-p)^{1-x}\\&=p(1-p)^{1-1}\\&=p\end{aligned}}}$

Teniendo ${\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]}$ y ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ puede deducirse que la varianza de ${\displaystyle X}$ está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left[X\right]&=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}\\&=p-p^{2}\\&=p\left(1-p\right)\end{aligned}}}$

El ${\displaystyle n}$-ésimo momento de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=p}$

Su función generadora de momentos está dada por

${\displaystyle M_{X}(t)=1-p+pe^{t}}$

Su función generadora de probabilidad está dada por

${\displaystyle G_{X}(t)=1-p+pt}$

La función característica está dada por

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=1-p+pe^{it}}$

Moda

${\displaystyle M={\begin{cases}0&p<1/2\\0,1&p=1/2\\1&p>1/2\end{cases}}}$

Asimetría (Sesgo)

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {q-p}{\sqrt {qp}}}}$

Curtosis

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}}$

La Curtosis tiende a infinito para valores de ${\displaystyle p}$ cercanos a 0 o a 1, pero para ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}}$ la distribución de Bernoulli tiene un valor de curtosis menor que el de cualquier otra distribución, igual a -2.

La distribución Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial con ${\displaystyle n=1}$, esto es ${\displaystyle \operatorname {Bernoulli} (p)\equiv \operatorname {Bin} (1,p)}$.

Se quiere lanzar una moneda y obtener la probabilidad de que salga cruz, se trata de un solo experimento con dos resultados posibles: el éxito se considerará sacar cruz y valdrá ${\displaystyle p=0.5}$. El fracaso será que salga cara y vale ${\displaystyle q=1-p=1-0.5=0.5}$.

La variable aleatoria ${\displaystyle X}$ mide el "número de cruces que salen en un lanzamiento" y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (no salga cruz, es decir, salir cara) y 1 (salga cruz), por lo tanto, la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ se distribuirá como una Bernoulli con parámetro ${\displaystyle p=0.5}$, es decir, ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bernoulli} (0.5)}$, por lo que

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [X=0]&=f(0)=0.5^{0}0.5^{1}=0.5\\\operatorname {P} [X=1]&=f(1)=0.5^{1}0.5^{0}=0.5\end{aligned}}}$

Se lanza un dado y se quiere hallar la probabilidad de que salga un 6.

Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:

${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}}$

Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez).

Se considera éxito sacar un 6, por lo tanto, la probabilidad según la Regla de Laplace (casos favorables dividido entre casos posibles) será 1/6.

${\displaystyle p=1/6}$

Se considera éxito sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquier otro resultado.

${\displaystyle q=1-p=1-1/6=5/6}$

La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).

Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro ${\displaystyle p}$ = 1/6

${\displaystyle X\sim \operatorname {Bernoulli} (1/6)}$

La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.

${\displaystyle P(X=1)=f(1)=(1/6)^{1}*(5/6)^{0}=1/6=0.1667}$

La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 0.

${\displaystyle P(X=0)=f(0)=(1/6)^{0}*(5/6)^{1}=5/6=0.8333}$