Distribución geométrica

Geométrica
Parámetros
Dominio
Función de densidad (pdf)	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle p(1-p)^{x-1}}
Función de distribución (cdf)
Media
Moda	0
Varianza	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \frac{1-p}{p^2}}
Coeficiente de simetría	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \frac{2-p}{\sqrt{1-p}}}
Curtosis	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle 6+\frac{p^2}{1-p}}
Entropía	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \frac{-(1-p)\log_2(1-p)-p\log_2p}{p}}
Función generadora de momentos (mgf)

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:

Si $X=\{1,2,\dots \}$ es el número necesario para obtener un éxito.
Si $X=\{0,1,2,\dots \}$ es el número de fracasos antes del primer éxito.

Definición

Notación

Si una variable aleatoria discreta $X$ sigue una distribución geométrica con parámetro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle 0<p<1} entonces escribiremos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle X\sim\operatorname{Geometrica}(p)} o simplemente $X\sim \operatorname {Geo} (p)$ .

Función de probabilidad

Si la variable aleatoria discreta $X$ se usa para modelar el número total de intentos hasta obtener el primer éxito en una sucesión de ensayos independientes Bernoulli en donde en cada uno de ellos la probabilidad de éxito es $p$ entonces la función de probabilidad de $X\sim \operatorname {Geometrica} (p)$ es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \operatorname{P}[X=x]=p(1-p)^{x-1}}

para $x=1,2,3,\dots$

Función de distribución

Si $X\sim \operatorname {Geometrica} (p)$ entonces la función de distribución está dada por

{\begin{aligned}\operatorname {P} [X\leq x]&=\sum _{k=1}^{x}p(1-p)^{k-1}\\&=\sum _{k=0}^{x-1}p(1-p)^{k}\\&=p\sum _{k=0}^{x-1}(1-p)^{k}\\&=p\left({\frac {1-(1-p)^{x-1+1}}{1-(1-p)}}\right)\\&=1-(1-p)^{x}\end{aligned}}

para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle x=0,1,2,3,\dots}

Propiedades

Si $X\sim \operatorname {Geometrica} (p)$ considerando que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): X modela el número de fracasos antes del primer éxito entonces la variable aleatoria $X$ cumple con algunas propiedades:

Media

La media de $X$ , siempre que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): X modele el número de ensayos hasta obtener el primer éxito,[1] está dada por

\operatorname {E} [X]={\frac {1}{p}}

Demostración
Se demuestra fácilmente si consideramos la definición de esperanza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \operatorname{E}[X] \overset{\text{def} }{=}\sum_{x=0}^\infty xPr[X=x] =\sum_{x=0}^\infty xp(1-p)^{x-1} \overset{q:=1-p}{=}p\sum_{x=0}^\infty xq^{x-1} =p\sum_{x=0}^\infty \frac{ \mathrm{d} }{\mathrm{d} q} \left(q^x\right) =p \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} q}\left(\sum_{x=0}^\infty q^x \right) \overset{\text{Serie geométrica} }{=} } Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle =p \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} q}\left( \frac{q}{1-q} \right) =p \frac{1}{(1-q)^2} \overset{q=1-p}{=} p \frac{1}{p^2} =\frac{1}{p} } , donde se consideró la serie geométrica $\sum _{n=0}^{\infty }\alpha ^{n}={\frac {1}{1-\alpha }}$ , si \| $\alpha$ \| $<1.\quad \square$

Varianza

La varianza de $X$ está dada por

\operatorname {Var} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}

.

Demostración
Tenemos que $\operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=\operatorname {E} [X(X-1)+X]-\operatorname {E} [X]^{2}{\overset {\text{linealidad}}{=}}\operatorname {E} [X(X-1)]+\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X]^{2}$ y $\operatorname {E} [X(X-1)]=\sum _{x\geq 0}^{}{x(x-1)p(1-p)^{x-1}}=p(1-p)\sum _{x\geq 0}^{}{x(x-1)(1-p)^{x-2}}{\overset {q:=1-p}{=}}p(1-p)\sum _{x\geq 0}^{}{{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} q^{2}}}\left(q^{x}\right)}=$ $=p(1-p){{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} q^{2}}}\left(\sum _{x\geq 0}^{}q^{x}\right)}{\overset {\text{Serie geométrica}}{=}}p(1-p){\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} q^{2}}}\left({\frac {q}{1-q}}\right)=p(1-p){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}\left({\frac {1}{(1-q)^{2}}}\right)$ $=p(1-p){\frac {2}{(1-q)^{3}}}{\overset {q=1-p}{=}}{\frac {2(1-p)}{p^{2}}}$ Por tanto, $\operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X(X-1)]+\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X]^{2}={\frac {2(1-p)}{p^{2}}}+{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {2(1-p)+p-1}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}\quad \square$

Función generadora de probabilidad

La función generadora de probabilidad f.g.p está dada por

G_{X}(t)={\frac {pt}{1-t(1-p)}}

.

si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle |t|<(1-p)^{-1} } .

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos está dada por

M_{X}(t)={\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}

si $t<-\ln(1-p)$ .

Pérdida de Memoria

La distribución geométrica tiene la propiedad de pérdida memoria, es decir, para cualesquiera $m,n\geq 0$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \operatorname{P}[X > m+n | X>m]=\operatorname{P}[X>n]} .

Su distribución análoga, la distribución exponencial, también tiene la propiedad de pérdida de memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos.

La distribución geométrica es la única distribución discreta que tiene la propiedad de pérdida de memoria.

Distribuciones relacionadas

La distribución geométrica $Y$ es un caso particular de la distribución binomial negativa con parámetro $k=1$ . Más generalmente, si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle Y_1,Y_2,\dots,Y_k } son variables aleatorias independientes distribuidas geométricamente con parámetro $p$ entonces

Z=\sum _{m=1}^{k}Y_{m}\sim \operatorname {BN} (k,p)

es decir,

Z

sigue a una distribución binomial negativa con parámetros Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): k y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): p .

La distribución geométrica es un caso especial de la distribución compuesta de Poisson.

Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle Y_1,Y_2,\dots,Y_r} son variables aleatorias independientes distribuidas geométricamente (con diferentes parámetros de éxito p_m posibles ), entonces su mínimo

W=\min _{m}Y_{m}

también está geométricamente distribuido con parámetro

p=1-\prod _{m}(1-p_{m})

.

Véase también

Referencias

Ross, Sheldon (2009). A First Course in Probability (8th edición). Pearson. p. 545. ISBN 0-13-603313-X.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Geometric distribution». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Calculadora Distribución geométrica

Datos: Q729523
Multimedia: Geometric distribution / Q729523

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[Ross-1] Ross, Sheldon (2009). A First Course in Probability (8th edición). Pearson. p. 545. ISBN 0-13-603313-X.