Distribución de Maxwell-Boltzmann

Distribución de velocidades de un conjunto de 1.000.000 moléculas de oxígeno (0.032 kg/mol) a tres temperaturas diferentes: -100 °C; 20 °C y 600 °C. A mayor temperatura el máximo del histograma se desplaza a mayores velocidades.

Matemáticamente, la distribución de Maxwell-Boltzmann es la distribución de una variable aleatoria escalar ${\displaystyle X={\sqrt {X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}}}}$ combinación de otras tres variables aleatorias ${\displaystyle X_{i}}$ cada una de las cuales se distribuye según una distribución normal ${\displaystyle X_{i}\sim N(0,a^{2})\,}$.

Físicamente el módulo de la velocidad de una molécula ${\displaystyle v\,}$ es igual a la raíz de la suma de los cuadrados de las velocidades coordenadas de la partícula ${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$, y como cada una de ellas siguen distribuciones gaussianas entonces ${\displaystyle v\,}$ debe seguir una distribución de Maxwell-Boltzmann explícitamente:

${\displaystyle f(v)=4\pi \left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {3}{2}}v^{2}e^{\frac {-mv^{2}}{2kT}}}$

donde m es la masa de la partícula y kT viene dada por el producto de la constante de Boltzmann y la temperatura absoluta.

Es habitual obtener ciertos parámetros estadísticos de esta distribución, como son:

• La velocidad más probable, v_p, que viene dado por el máximo de la función de distribución de Maxwell, también llamada en estadística, la moda. Para encontrarla solo hay que calcular:

${\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}=0}$

lo que nos lleva a:

${\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{mN_{A}}}}}$,

donde R es la constante de los gases, N_A el número de Avogadro y m es la masa de las partículas del gas.

Por ejemplo, para el nitrógeno molecular (N₂) a temperatura ambiente (300 K), esto resulta v_p = 422 m/s.

• La velocidad media o valor esperado de la distribución de velocidades es:

${\displaystyle \langle v\rangle =\int _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi mN_{A}}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{p}}$

• La velocidad cuadrática media, que es el momento de segundo orden de la velocidad:

${\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=\left(\int _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{mN_{A}}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{p}}$

Como puede verse, estas tres velocidades están siempre relacionadas por:

${\displaystyle 0,886\langle v\rangle =v_{p}<\langle v\rangle <{\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=1.085\langle v\rangle .}$

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Distribución de Maxwell-Boltzmann.