Distribución de Rademacher

La función de masa de probabilidad de esta distribución es

${\displaystyle f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{si }}k=-1,\\1/2&{\mbox{si }}k=+1,\\0&{\mbox{en otro caso}}\end{matrix}}\right.}$

Puede también ser escrita como una función de densidad de probabilidad en términos de la función delta de Dirac, como:

${\displaystyle f(k)={\frac {1}{2}}\left(\delta \left(k-1\right)+\delta \left(k+1\right)\right).}$

Van Zuijlen ha demostrado el siguiente resultado.[2]

Sea ${\displaystyle X_{i}}$ un conjunto de variables aleatorias independientes con distribución Rademacher, entonces

${\displaystyle \Pr {\Bigl (}{\Bigl |}{\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{\sqrt {n}}}{\Bigr |}\leq 1)\geq 0.5.}$

La cota es afilado y mejor que la que se puede derivar de la distribución normal (aproximadamente Pr > 0.31).

Sea { X_i } un conjunto de variables aleatorias con una distribución Rademacher. Sea ${\displaystyle \{a_{i}\}}$ una sucesión de números reales. Entonces

${\displaystyle \Pr(\sum _{i}X_{i}a_{i}>t||a||_{2})\leq e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}}$

donde ${\displaystyle \lVert a\rVert _{2}}$ es la norma euclidiana de la secuencia ${\displaystyle \{a_{i}\},t>0}$ es un número real y Pr (Z) es la probabilidad del evento Z.[3]

También si ${\displaystyle \lVert a\rVert _{1}}$ es finito entonces

${\displaystyle \Pr(\sum _{i}X_{i}a_{i}>||a||_{1})=0}$

donde ${\displaystyle \lVert a\rVert _{1}}$ es el 1-norma de la secuencia ${\displaystyle \{a_{i}\}}$.

Sea ${\displaystyle Y=\sum X_{i}a_{i}}$,${\displaystyle Y}$ casi seguramente es una serie convergente en un espacio de Banach. Entonces para ${\displaystyle t>0}$ y ${\displaystyle s\geq 1}$ tenemos:[4]

${\displaystyle Pr(||Y||>st)\leq [{\frac {1}{c}}Pr(||Y||>t)]^{cs^{2}}}$

para alguna constante ${\displaystyle c}$.

Sea ${\displaystyle p}$ un número real positivo. Entonces[5]

${\displaystyle c_{1}[\sum {|a_{i}|^{2}}]^{\frac {1}{2}}\leq (E[|\sum {a_{i}X_{i}}|^{p}])^{\frac {1}{p}}\leq c_{2}[\sum {|a_{i}|^{2}}]^{\frac {1}{2}}}$

donde ${\displaystyle c_{1}}$ y ${\displaystyle c_{2}}$ son constantes que dependen solo de ${\displaystyle p}$.

Para ${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle c_{2}\leq c_{1}{\sqrt {p}}}$

La distribución Rademacher se ha utilizado en bootstrapping.

La distribución Rademacher se puede utilizar para demostrar que se distribuye normalmente y no correlacionado no implica independiente.

Distribución de Bernoulli: Si ${\displaystyle X}$ sigue una distribución Rademacher, luego ${\displaystyle {\frac {X+1}{2}}}$ tiene una distribución Bernoulli (1/2).

Distribución de Laplace: Si${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Y}$ son variables aleatorias independientes, tales que ${\displaystyle X}$ sigue una distribución Rademacher y ${\displaystyle Y=\exp {\bigl (}\lambda {\bigr )}}$, entonces ${\displaystyle XY\backsim Laplace(0,1/\lambda )}$