Distribución triangular

1757 … Simpson discutió varias posibles distribuciones de error. Lo primero que consideró fue la distribución uniforme, seguida por la distribución triangular continua simétrica

La función densidad de probabilidad es

${\displaystyle f(x|a,b,c)={\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{para }}a\leq x<c,\\[4pt]{\frac {2}{b-a}}&{\text{para }}x=c,\\[4pt]{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{para }}c<x\leq b,\\[4pt]0&{\text{para otros casos}}\end{cases}}}$

• Parámetros: ${\displaystyle a\colon a\in (-\infty ,\infty )}$
  ${\displaystyle b\colon b>a}$
  ${\displaystyle c\colon a\leq c\leq b}$
• Soporte: ${\displaystyle a\leq x\leq b}$
• Función de probabilidad acumulada: =${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{para }}x\leq a,\\[2pt]{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{para }}a<x\leq c,\\[4pt]1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{para }}c<x<b,\\[4pt]1&{\text{para }}b\leq x.\end{cases}}}$
• Media: ${\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}}$
• Mediana: ${\displaystyle {\begin{cases}a+{\frac {\sqrt {(b-a)(c-a)}}{\sqrt {2}}}&{\text{para }}c\geq {\frac {a+b}{2}}\\[4pt]b-{\frac {\sqrt {(b-a)(b-c)}}{\sqrt {2}}}&{\text{para }}c\leq {\frac {a+b}{2}}\end{cases}}}$
• Moda: ${\displaystyle c}$
• Varianza: ${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}}$
• Restricciones: ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}}$
• Curtosis: ${\displaystyle -{\frac {3}{5}}}$
• Entropía: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)}$
• Función generadora de momentos: ${\displaystyle 2{\frac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}$
• Función característica: ${\displaystyle -2{\frac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}$

La distribución triangular es habitualmente empleada como una descripción subjetiva de una población para la que sólo se cuenta con una cantidad limitada de datos muestrales y, especialmente en casos en que la relación entre variables es conocida pero los datos son escasos (posiblemente porque es alto el costo de recolectarlos). Está basada en un conocimiento del mínimo y el máximo y un "pálpito inspirado"[1] como el del valor modal. Por estos motivos, la Distribución Triangular ha sido denominada como la de "falta de precisión" o de información.

• Weisstein, Eric W. «Triangular Distribution». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Triangular Distribution  , brighton-webs.co.uk