Distribución zeta

En teoría de la probabilidad, la distribución zeta es una distribución de probabilidad definida sobre los números naturales con función de probabilidad

${\displaystyle P(X=x)={\frac {x^{-s}}{\zeta (s)}},}$

Distribución zeta
Dibujo de la función de probabilidad de la distribución Zeta en una escala log-log. (Nótese que la función solo está definida para valores de k enteros.) Función de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle s\in (1,\infty )}$
Dominio	${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots \}}$
Función de probabilidad (fp)	${\displaystyle {\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle {\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}}}$
Media	${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}~{\textrm {para}}~s>2}$
Moda	${\displaystyle 1\,}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-2)-\zeta (s-1)^{2}}{\zeta (s)^{2}}}~{\textrm {para}}~s>3}$
Entropía	${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}\log(k^{s}\zeta (s)).\,\!}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle {\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}}$
Función característica	${\displaystyle {\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{it})}{\zeta (s)}}}$

donde ${\displaystyle s>1\,}$ es un parámetro que mide la velocidad de decaimiento. Recibe su nombre de la función zeta de Riemann,

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$

Se trata del equivalente discreto de la distribución Pareto. La distribución zeta fue utilizada por el economista italiano Vilfredo Pareto (1848-1923) para estudiar la distribución de los ingresos familiares de un país determinado.