Dominio euclídeo

Un dominio euclídeo es un par ${\displaystyle (A,\phi )}$ donde ${\displaystyle A}$ es un dominio de integridad y ${\displaystyle \phi }$ es una aplicación ${\displaystyle \phi :A\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} \cup \{0\}}$ que cumple las siguientes dos condiciones:[4]

1. Para cualquier ${\displaystyle a,b\in A}$ tales que ${\displaystyle b\neq 0}$ se cumple que existen ${\displaystyle q,r\in A}$ de manera que

(1)

${\displaystyle a=bq+r}$; \ tales que ${\displaystyle r=0}$, o bien ${\displaystyle \ \phi (r)<\phi (b)}$

2 Para dos elementos cualesquiera ${\displaystyle a,b\in A\setminus \{0\}}$:

(2)

${\displaystyle \phi (a)\leq \phi (a\cdot b)}$

A los elementos ${\displaystyle q}$ y ${\displaystyle r}$ se les denomina respectivamente cociente y resto, como en la división usual.

Los siguientes son ejemplos de anillos que son dominios euclídeos:

• Si tomamos el conjunto de los números enteros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ y como norma euclídea tomamos la aplicación valor absoluto ${\displaystyle |\cdot |}$, tenemos un dominio euclídeo, pues ${\displaystyle |a|\leq |ab|}$ para todo ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ con ${\displaystyle b\neq 0}$. Usando esta definición, la propiedad (1) equivale al algoritmo de división usual entre enteros.

• En todo cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ puede definirse una norma euclídea, tomándose ésta como la aplicación constante ${\displaystyle 1}$, ya que, para cualquier elemento ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ de ${\displaystyle \mathbb {K} }$, se satisfacen las dos propiedades de forma trivial, a saber:

1. tomando ${\displaystyle q=a/b}$ se tiene que ${\displaystyle r=0}$.
2. ${\displaystyle 1=\phi (a)\leq \phi (a\cdot b)=1}$.

• Considerando el anillo de polinomios en una variable ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$ con coeficientes en un cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ y como norma euclídea la aplicación

${\displaystyle \mathrm {grad}$ :\mathbb {K} [x]-\{0\}\longrightarrow \mathbb {N} \cup \{0\}}

que a cada polinomio no nulo de ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$ le asigna su grado, el resultado es un dominio euclídeo.

• en el anillo de los enteros gaussianos, si para cada elemento ${\displaystyle \alpha =a+bi}$, donde ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$, definimos su norma como ${\displaystyle N(\alpha )=a^{2}+b^{2}}$, tenemos un dominio euclídeo.

Los siguientes son ejemplos de anillos que no son dominios euclideos:

• En general, el anillo de polinomios con coeficientes en un anillo ${\displaystyle A}$, incluso aun cuando el propio ${\displaystyle A}$ es un dominio euclideo. Por ejemplo ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ no es un dominio euclídeo aunque ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ sí lo es.

En un dominio euclideo, la identidad multiplicativa —el elemento ${\displaystyle 1_{A}}$— siempre tiene la norma más pequeña posible, es decir, ${\displaystyle \phi (1_{A})=1}$. Misma propiedad tienen todas las unidades del anillo: ${\displaystyle \forall u\in A:u\ es\ unidad\implies \phi (u)=1}$.[9]

Todo dominio euclídeo ${\displaystyle A}$ satisface las siguientes propiedades:

• Todo par de elementos ${\displaystyle a,b\in A}$ tienen mínimo común múltiplo y máximo común divisor, y se verifica la identidad de Bezout.[1]
• Todo ideal de ${\displaystyle A}$ es principal, es decir, ${\displaystyle A}$ es un dominio de ideales principales.[2]
• Todo elemento ${\displaystyle a\in A}$ tiene una descomposición única en factores irreducibles, es decir, ${\displaystyle A}$ es un dominio de factorización única.[3]
• En un dominio euclídeo todo elemento irreducible es primo.[10]

• Dominio íntegro.
• Algoritmo de la división.
• Cuerpo.
• Anillo.
• Anillo de polinomios.

• Weisstein, Eric W. «Euclidean Domain». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Euclidean Ring en PlanetMath..