Ecuación de Hunter-Saxton

En los modelos de cristales líquidos considerados aquí, se supone que no hay flujo de fluido, por lo que sólo la orientación de las moléculas es de interés. Dentro de la teoría del elástico continuo, la orientación se describe mediante un campo de vectores unitarios n(x,y,z,t). Para los cristales líquidos nemáticos, no hay diferencia entre orientar una molécula en n direcciones o en −n direcciones y el campo vectorial n es entonces llamado campo director.

La densidad de energía potencial de un campo director se supone que viene dada por la energía funcional de Oseen–Frank [2]

${\displaystyle W(\mathbf {n} ,\nabla \mathbf {n} )={\frac {1}{2}}\left(\alpha (\nabla \cdot \mathbf {n} )^{2}+\beta (\mathbf {n} \cdot (\nabla \times \mathbf {n} ))^{2}+\gamma |\mathbf {n} \times (\nabla \times \mathbf {n} )|^{2}\right),}$

donde los coeficientes positivos ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): \gamma son conocidos como los coeficientes elásticos de separación, torsión y flexión, respectivamente. La energía cinética se descuida a menudo debido a la alta viscosidad de los cristales líquidos.

Hunter y Saxton[1] investigaron el caso en el que se ignora la amortiguación viscosa y se incluye un término de energía cinética en el modelo. Entonces las ecuaciones rectoras para la dinámica del campo director son las ecuaciones de Euler-Lagrange para el lagrangiano

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \mathcal{L} = \frac{1}{2} \left| \frac{\partial\mathbf{n}}{\partial t} \right|^2 - W(\mathbf{n},\nabla\mathbf{n}) - \frac{\lambda}{2} (1-|\mathbf{n}|^2), }

donde ${\displaystyle \lambda }$ es uno de los multiplicadores de Lagrange correspondiente a la restricción |n|=1. Limitaron su atención a las «ondas de separación», donde el campo del director toma la forma especial siguiente:

${\displaystyle \mathbf {n} (x,y,z,t)=(\cos \varphi (x,t),\sin \varphi (x,t),0).}$

Esta suposición reduce el lagrangiano a:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \mathcal{L} = \frac{1}{2} \left( \varphi_t^2 - a^2(\varphi) \varphi_x^2 \right), \qquad a(\varphi) := \sqrt{\alpha \sin^2 \varphi + \gamma \cos^2 \varphi}, }

y entonces la ecuación de Euler-Lagrange para el ángulo φ se convierte en:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \varphi_{tt} = a(\varphi) [a(\varphi) \varphi_x]_x. }

Hay soluciones constantes triviales φ=φ₀ correspondientes a los estados donde las moléculas en el cristal líquido están perfectamente alineados. La linealización alrededor de tal equilibrio conduce a la ecuación de onda lineal que permite la propagación de las ondas en ambas direcciones con velocidad

${\displaystyle a_{0}:=a(\varphi _{0})}$,

por lo que se puede esperar que la ecuación no lineal se comporte de manera similar. Con el fin de estudiar las ondas de movimiento correcto para las grandes t, se buscan soluciones asintóticas de la forma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \varphi(x,t;\epsilon) = \varphi_0 + \epsilon \varphi_1(\theta,\tau) + O(\epsilon^2), }

donde

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \theta := x-a_0 t, \qquad \tau := \epsilon t. }

Insertando esto en la ecuación, se encuentra en el orden Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \epsilon^2}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle (\varphi_{1\tau} + a'(\varphi_0) \varphi_1 \varphi_{1\theta})_{\theta} = \frac{1}{2} a'(\varphi_0) \varphi_{1\theta}^2. }

La integrabilidad de la ecuación de Hunter-Saxton o, más precisamente, la de su derivada

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle (u_t + u u_x)_{xx} = u_x u_{xx}, }

fue demostrado por Hunter y Zheng,[4] quienes explicaron que esta ecuación se obtiene de la ecuación de Camassa-Holm

${\displaystyle u_{t}-u_{xxt}+3uu_{x}=2u_{x}u_{xx}+uu_{xxx}}$

en el "límite de alta frecuencia"

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle (x,t) \mapsto (\epsilon x, \epsilon t), \qquad \epsilon \to 0. }

Aplicando este procedimiento limitativo a un lagrangiano para la ecuación de Camassa-Holm, obtuvieron un lagrangiano

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}={\frac {1}{2}}u_{x}^{2}+w(v_{t}+uv_{x})}$

que genera la ecuación de Hunter-Saxton después de eliminar la v y la w de las ecuaciones de Euler-Lagrange para la u, la v y la w. Ya que también existe el más obvio lagrangiano

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}=u_{x}u_{t}+uu_{x}^{2},}$

el Hunter-Saxton tiene dos estructuras variantes no equivalentes. Hunter y Zheng también obtuvieron una formulación bihamiltoniana y un par Lax de las estructuras correspondientes para la ecuación de Camassa-Holm de manera similar.

El hecho de que la ecuación Hunter-Saxton surge físicamente de dos maneras diferentes, como se muestra más arriba, fue utilizada por Alì y Hunter[3] para explicar por qué tiene esta estructura bivariante o bihamiltoniana.

• Alì, Giuseppe; Hunter, John K. (2006), Orientation waves in a director field with rotational inertia, arXiv:math.AP/0609189.
• de Gennes, Pierre-Gilles; Prost, Jacques (1994), The Physics of Liquid Crystals, International Series of Monographs on Physics (2nd edición), Oxford University Press, ISBN 0-19-852024-7.
• Hunter, John K.; Saxton, Ralph (1991), «Dynamics of director fields», SIAM J. Appl. Math. 51 (6): 1498-1521, doi:10.1137/0151075.
• Hunter, John K.; Zheng, Yuxi (1994), «On a completely integrable nonlinear hyperbolic variational equation», Physica D 79 (2–4): 361-386, Bibcode:1994PhyD...79..361H, doi:10.1016/S0167-2789(05)80015-6.
• Beals, Richard; Sattinger, David H.; Szmigielski, Jacek (2001), «Inverse scattering solutions of the Hunter–Saxton equation», Applicable Analysis 78 (3–4): 255-269, doi:10.1080/00036810108840938.
• Bressan, Alberto; Constantin, Adrian (2005), «Global solutions of the Hunter–Saxton equation», SIAM J. Math. Anal. 37 (3): 996-1026, arXiv:math/0502059, doi:10.1137/050623036.
• Holden, Helge; Karlsen, Kenneth Hvistendahl; Risebro, Nils Henrik (2007), «Convergent difference schemes for the Hunter–Saxton equation», Math. Comp. 76 (258): 699-745, Bibcode:2007MaCom..76..699H, doi:10.1090/S0025-5718-07-01919-9, archivado desde el original el 22 de septiembre de 2007, consultado el 12 de julio de 2020.
• Hunter, John K.; Zheng, Yuxi (1995), «On a nonlinear hyperbolic variational equation. I. Global existence of weak solutions», Arch. Rational Mech. Anal. 129 (4): 305-353, Bibcode:1995ArRMA.129..305H, doi:10.1007/BF00379259.
• Hunter, John K.; Zheng, Yuxi (1995), «On a nonlinear hyperbolic variational equation. II. The zero-viscosity and dispersion limits», Arch. Rational Mech. Anal. 129 (4): 355-383, Bibcode:1995ArRMA.129..355H, doi:10.1007/BF00379260.
• Lenells, Jonatan (2007), «The Hunter–Saxton equation describes the geodesic flow on a sphere», J. Geom. Phys. 57 (10): 2049-2064, Bibcode:2007JGP....57.2049L, doi:10.1016/j.geomphys.2007.05.003.