Ecuación de Langevin

Un oscilador armónico no ideal se ve afectado por alguna forma de amortiguación, a partir de la cual se sigue a través del teorema de fluctuación-disipación de que debe haber algunas fluctuaciones en el sistema. El diagrama a la derecha muestra un retrato de la fase de la evolución temporal del momento, ${\displaystyle p=mv}$, vs. position, ${\displaystyle r}$ de un oscilador armónico. El movimiento determinista seguiría a lo largo de las trayectorias elipsoidales que no pueden cruzarse entre sí sin cambiar la energía. La presencia de alguna forma de amortiguación, por ej. un entorno de fluido molecular (representado por los términos de difusión y amortiguación), agrega y elimina continuamente la energía cinética del sistema, lo que hace que se extienda un conjunto inicial de osciladores estocásticos (círculos de puntos), que eventualmente alcanzan el equilibrio térmico.

Un circuito eléctrico que consta de una resistencia y un condensador.

Existe una estrecha analogía entre la partícula Brownian paradigmática discutida anteriormente y el ruido de Johnson, el voltaje eléctrico generado por las fluctuaciones térmicas en cada resistencia.[5] El diagrama a la derecha muestra un circuito eléctrico que consiste en una resistencia R y una capacitancia C. La variable lenta es la tensión U entre los extremos de la resistencia. El hamiltoniano lee ${\displaystyle {\mathcal {H}}=E/k_{B}T=CU^{2}/(2k_{B}T)}$, y la ecuación de Langevin se convierte en

${\displaystyle {\frac {dU}{dt}}=-{\frac {U}{RC}}+\eta \left(t\right),\;\;\left\langle \eta \left(t\right)\eta \left(t^{\prime }\right)\right\rangle ={\frac {2k_{B}T}{RC^{2}}}\delta \left(t-t^{\prime }\right).}$

Esta ecuación se puede utilizar para determinar la función de correlación

${\displaystyle \left\langle U\left(t\right)U\left(t^{\prime }\right)\right\rangle =\left(k_{B}T/C\right)\exp \left(-\left\vert t-t^{\prime }\right\vert /RC\right)\approx 2Rk_{B}T\delta \left(t-t^{\prime }\right),}$

que se convierte en un ruido blanco (ruido de Johnson) cuando la capacitancia C se vuelve despreciablemente pequeña.

La dinámica del parámetro de orden ${\displaystyle \varphi }$ de una transición de fase de segundo orden se ralentiza cerca del punto crítico y se puede describir con una ecuación de Langevin.[3] El caso más simple es la clase de universalidad "modelo A" con un parámetro de orden escalar no conservado, realizado, por ejemplo, en ferromagnetos axiales,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi \left(\mathbf {x} ,t\right)}{\partial t}}&=-\lambda {\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }}+\eta \left(\mathbf {x} ,t\right),\\{\mathcal {H}}&=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\varphi \left[r_{0}-\nabla ^{2}\right]\varphi +u\varphi ^{4}\right\},\\\left\langle \eta \left(\mathbf {x} ,t\right)\eta \left(\mathbf {x} ',t'\right)\right\rangle &=2\lambda \delta \left(\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right)\delta \left(t-t'\right).\end{aligned}}}$

Otras clases de universalidad (la nomenclatura es "modelo A", ..., "modelo J") contienen un parámetro de orden de difusión, parámetros de orden con varios componentes, otras variables críticas y/o contribuciones de los corchetes de Poisson.[3]

Las ecuaciones de Langevin deben reproducir la distribución de Boltzmann. El movimiento browniano sobredimensionado unidimensional es un ejemplo instructivo. El caso sobredimensionado se realiza cuando la inercia de la partícula es despreciable en comparación con la fuerza de amortiguación. La trayectoria ${\displaystyle x(t)}$ de la partícula en un potencial ${\displaystyle V(x)}$ se describe mediante la ecuación de Langevin:

${\displaystyle \lambda {\frac {dx}{dt}}=-{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}+\eta (t),}$

donde el ruido se caracteriza por ${\displaystyle \left\langle \eta (t)\eta (t')\right\rangle =2k_{B}T\lambda \delta (t-t')}$ y ${\displaystyle \lambda }$ es la constante de amortiguamiento. Nos gustaría calcular la distribución ${\displaystyle p(x)}$ de la posición de la partícula en el transcurso del tiempo. Una forma directa de determinar esta distribución es introducir una función de prueba ${\displaystyle f}$, y observar el promedio de esta función en todas las realizaciones (promedio del conjunto)

${\displaystyle \lambda {\frac {d\left\langle f(x(t))\right\rangle }{dt}}=\left\langle f'(x(t))\lambda {\frac {dx}{dt}}\right\rangle =\left\langle -f'(x(t)){\frac {\partial V}{\partial x}}+f'(x(t))\eta (t)\right\rangle .}$

Si ${\displaystyle x(t)}$ permanece finito, entonces esta cantidad es nula. Además, utilizando la interpretación de Stratonovich, podemos deshacernos de la eta en el segundo término para terminar con

${\displaystyle \left\langle -f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}+k_{B}Tf''(x)\right\rangle =0,}$

donde hacemos uso de la función de densidad de probabilidad ${\displaystyle p(x)}$. Esto se hace calculando explícitamente el promedio,

${\displaystyle \int \left(-f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)+{k_{B}T}f''(x)p(x)\right)dx=\int \left(-f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)-{k_{B}T}f'(x)p'(x)\right)dx=0,}$

donde el segundo término estaba integrado por partes (de ahí el signo negativo). Como esto es cierto para funciones arbitrarias ${\displaystyle f}$, debemos tener:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)+{k_{B}T}p'(x)=0,}$

recuperando así la distribución de Boltzmann.

${\displaystyle p(x)\propto \exp \left({-{\frac {V(x)}{k_{B}T}}}\right).}$

Una ecuación de Fokker-Planck es una ecuación determinística para la densidad de probabilidad dependiente del tiempo ${\displaystyle P\left(A,t\right)}$ de las variables estocásticas ${\displaystyle A}$. La ecuación de Fokker-Planck correspondiente a la ecuación de Langevin genérica anterior se puede derivar con técnicas estándar.[6]

${\displaystyle {\frac {\partial P\left(A,t\right)}{\partial t}}=\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{i}}}\left(-k_{B}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{j}}}\right)P\left(A,t\right).}$

La distribución de equilibrio ${\displaystyle P(A)=p_{0}(A)={\text{const}}\times \exp(-{\mathcal {H}})}$ es una solución estacionaria.

Se puede obtener una integral de trayectoria equivalente a una ecuación de Langevin a partir de la ecuación de Fokker-Planck correspondiente o transformando la distribución de probabilidad gaussiana ${\displaystyle P^{(\eta )}(\eta )d\eta }$ de la fuerza fluctuante ${\displaystyle \eta }$a una distribución de probabilidad de las variables lentas, esquemáticamente ${\displaystyle P(A)dA=P^{(\eta )}(\eta (A))\det(d\eta /dA)dA}$. El determinante funcional y las sutilezas matemáticas asociadas se eliminan si la ecuación de Langevin se discretiza de manera natural (causal), donde ${\displaystyle A(t+\Delta t)-A(t)}$depende de ${\displaystyle A(t)}$ pero no en ${\displaystyle A(t+\Delta t)}$. Resulta conveniente introducir variables de respuesta auxiliares ${\displaystyle {\tilde {A}}}$. La integral de trayectoria equivalente a la ecuación de Langevin genérica se lee[7]

${\displaystyle \int P(A,{\tilde {A}})\,dA\,d{\tilde {A}}=N\int \exp \left(L(A,{\tilde {A}})\right)dA\,d{\tilde {A}},}$

donde ${\displaystyle N}$es un factor de normalización y

${\displaystyle L(A,{\tilde {A}})=\int \sum _{i,j}\left\{{\tilde {A}}_{i}\lambda _{i,j}{\tilde {A}}_{j}-{\widetilde {A}}_{i}\left\{\delta _{i,j}{\frac {dA_{j}}{dt}}-k_{B}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {d{\mathcal {H}}}{dA_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {d{\mathcal {H}}}{dA_{j}}}-{\frac {d\lambda _{i,j}}{dA_{j}}}\right\}\right\}dt.}$

La formulación integral del camino no agrega nada nuevo, pero sí permite el uso de herramientas de la teoría cuántica de campos; por ejemplo, métodos de grupo de perturbación y renormalización (si tienen sentido).