Ecuación diferencial exacta

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma ${\displaystyle \mu (x)\,\!}$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mu (x)=e^{\int {\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}\,dx}\,\!}$

Cabe decir que para que ${\displaystyle \mu (x)}$ exista, es condición necesaria y suficiente que el miembro ${\displaystyle {\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}}$ tiene que ser función únicamente de x. (Aclarando que ${\displaystyle M_{y}}$ y ${\displaystyle N_{x}}$ equivalen a las parciales de estas; ${\displaystyle {\frac {\partial {M}}{\partial {y}}}}$ y ${\displaystyle {\frac {\partial {N}}{\partial {x}}}}$ respectivamente).

Ejemplo: ${\displaystyle (3x^{2}y+x^{3}y+5y^{2})dx+(x^{3}+10y)dy=0}$, entonces ${\displaystyle {\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}=1}$ y por lo tanto ${\displaystyle \mu (x)=e^{x}}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

${\displaystyle (3x^{2}y+x^{3}y+5y^{2})e^{x}dx+(x^{3}+10y)e^{x}dy=0}$

La solución general viene dada implícitamente por: ${\displaystyle F(x,y)=(x^{3}y+5y^{2})e^{x}=c}$

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma ${\displaystyle \mu (y)\,\!}$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mu (y)=e^{\int {\frac {N_{x}-M_{y}}{M}}\,dy}\,\!}$

Ejemplo: ${\displaystyle (3x^{2}y+y^{2})dx+(y^{2}-x^{3})dy=0}$, entonces ${\displaystyle {\frac {N_{x}-M_{y}}{M}}={\frac {-2}{y}}}$ y por lo tanto ${\displaystyle \mu (y)={\frac {1}{y^{2}}}}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

${\displaystyle \left(1+3{\frac {x^{2}}{y}}\right)dx+\left(1-{\frac {x^{3}}{y^{2}}}\right)dy=0}$

La solución general viene dada implícitamente por: ${\displaystyle F(x,y)=x+y+{\frac {x^{3}}{y}}=c}$

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma ${\displaystyle \mu (x+y)\,\!}$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mu (x+y)=e^{\int {\frac {N_{x}-M_{y}}{M-N}}\,dz}\,\!}$ Con ${\displaystyle z=x+y}$

Ejemplo: ${\displaystyle (3xy-y^{2})dx+(x^{2}-4y^{2}+xy)dy=0}$, entonces ${\displaystyle {\frac {N_{x}-M_{y}}{M-N}}={\frac {1}{x+y}}}$ y por lo tanto ${\displaystyle \mu (x+y)=x+y}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

${\displaystyle [(x+y)(3xy-y^{2})]dx+[(x+y)(x^{2}-4y^{2}+xy)]dy=0}$

La solución general viene dada implícitamente por: ${\displaystyle F(x,y)=(x+y)^{2}(xy-y^{2})=c}$

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma ${\displaystyle \mu ({x}{y})\,\!}$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mu (xy)=e^{\int {\frac {M_{y}-N_{x}}{N*y-M*x}}\,dz}\,\!}$ Con ${\displaystyle z=x\cdot y}$

Donde ${\displaystyle M*x=}$ M·x

Cabe mencionar que:

${\displaystyle M_{y}={\frac {\partial M}{\partial y}},N_{x}={\frac {\partial N}{\partial x}}\,\!}$

Ejemplo: ${\displaystyle (y+x^{3}y+2x^{2})dx+(x+4xy^{4}+8y^{3})dy=0}$, entonces ${\displaystyle {\frac {M_{y}-N_{x}}{N.y-M.x}}={\frac {-1}{xy+2}}}$ y por lo tanto ${\displaystyle \mu (xy)={\frac {1}{xy+2}}}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

${\displaystyle {\frac {y+x^{3}y+2x^{2}}{xy+2}}dx+{\frac {x+4xy^{4}+8y^{3}}{xy+2}}dy=0}$

La solución general viene dada implícitamente por: ${\displaystyle F(x,y)={\frac {1}{3}}x^{3}+y^{4}+\ln {(xy+2)}=c}$

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma ${\displaystyle \mu (x^{2}+y^{2})}$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mu (xy)=e^{{\frac {1}{2}}\int {\frac {M_{y}-N_{x}}{N*x-M*y}}\,dz}\,\!}$ Con ${\displaystyle z=x^{2}+y^{2}}$

Ejemplo: ${\displaystyle (x-y)dx+(x+y)dy=0}$, entonces ${\displaystyle {\frac {M_{y}-N_{x}}{N.x-M.y}}={\frac {-2}{x^{2}+y^{2}}}}$ y por lo tanto ${\displaystyle \mu (x^{2}+y^{2})={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

${\displaystyle {\frac {x-y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x+y}{x^{2}+y^{2}}}dy=0}$

La solución general viene dada implícitamente por: ${\displaystyle F(x,y)={\frac {1}{2}}\ln {(x^{2}+y^{2})}-\arctan {\left({\frac {x}{y}}\right)}=c}$