Ecuaciones de Lotka-Volterra

El equilibrio de la población se produce en el modelo cuando ninguno de los niveles de población cambia, es decir, cuando ambas derivadas son iguales a 0:

$${\displaystyle x(\alpha -\beta y)=0,}$$

$${\displaystyle -y(\gamma -\delta x)=0.}$$

El sistema de ecuaciones anteriores nos da dos soluciones:

$${\displaystyle \{y=0,\ \ x=0\}}$$

&

$${\displaystyle \left\{y={\frac {\alpha }{\beta }},\ \ x={\frac {\gamma }{\delta }}\right\}.}$$

Por lo tanto, hay dos equilibrios en las ecuaciónes.

La primera solución representa efectivamente la extinción de ambas especies. Si ambas poblaciones están en 0, entonces seguirán estándolo indefinidamente. La segunda solución representa un punto fijo en el que ambas poblaciones mantienen sus números actuales distintos de 0 y, en el modelo simplificado, lo hacen indefinidamente. Los niveles de población en los que se logra este equilibrio dependen de los valores elegidos de los parámetros α, β, γ, & δ.

La estabilidad del punto fijo en el origen se puede determinar realizando un linealización usando derivadas parciales.

La Matriz Jacobiana del modelo depredador-presa es

$${\displaystyle J(x,y)={\begin{bmatrix}\alpha -\beta y&-\beta x\\\delta y&\delta x-\gamma \end{bmatrix}}.}$$

y esto se conoce como matriz comunitaria.

Cuando se evalúa en el estado estacionario de (0, 0), la matriz jacobiana J se trnansforma en

$${\displaystyle J(0,0)={\begin{bmatrix}\alpha &0\\0&-\gamma \end{bmatrix}}.}$$

Los eigenvalores de la matriz son:

$${\displaystyle \lambda _{1}=\alpha ,\quad \lambda _{2}=-\gamma .}$$

En el modelo α y γ son siempre mayores que cero y, como tal, el signo de los valores propios anteriores siempre será diferente. Por lo tanto, el punto fijo en el origen es un [Punto de silla|punto silla].

La inestabilidad de este punto fijo es importante. Si fuera estable, las poblaciones distintas de cero podrían verse atraídas hacia él y, como tal, la dinámica del sistema podría conducir a la extinción de ambas especies para muchos casos de los niveles de población iniciales. Sin embargo, como el punto fijo en el origen es un punto silla y, por lo tanto, inestable, se deduce que la extinción de ambas especies es difícil en el modelo. (De hecho, esto solo podría ocurrir si la presa fuera completamente erradicada artificialmente, causando que los depredadores mueran de hambre. Si los depredadores fueran erradicados, la población de presas crecería sin límites en este modelo simple). Las poblaciones de presas y depredadores pueden acercarse infinitesimalmente a cero y aun así recuperarse.

Evaluando J en el segundo punto fijo conduce a

$${\displaystyle J\left({\frac {\gamma }{\delta }},{\frac {\alpha }{\beta }}\right)={\begin{bmatrix}0&-{\frac {\beta \gamma }{\delta }}\\{\frac {\alpha \delta }{\beta }}&0\end{bmatrix}}.}$$

Los eigenvalores de esta matriz son

$${\displaystyle \lambda _{1}=i{\sqrt {\alpha \gamma }},\quad \lambda _{2}=-i{\sqrt {\alpha \gamma }}.}$$

Como los valores propios son puramente imaginarios y conjugados entre sí, este punto fijo debe ser un centro para órbitas cerradas en la vecindad local o una espiral atractiva o repulsiva. En los sistemas conservativos, debe haber órbitas cerradas en la vecindad local de puntos fijos que existen en los mínimos y máximos de la cantidad conservada. La cantidad conservada se deriva arriba para ser ${\displaystyle V=\delta x-\gamma \ln(x)+\beta y-\alpha \ln(y)}$ en las orbitas. Así, las órbitas alrededor del punto fijo son cerradas y elípticas, entonces las soluciones son periódicas, oscilando en una pequeña elipse alrededor del punto fijo, con una frecuencia ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\lambda _{1}\lambda _{2}}}={\sqrt {\alpha \gamma }}}$ & un periodo ${\displaystyle T=2{\pi }/({\sqrt {\lambda _{1}\lambda _{2}}})}$.

Como se ilustra en las oscilaciones circulantes de la figura anterior, las curvas de nivel están cerradas en órbitas que rodea el punto fijo: los niveles de las poblaciones de depredadores y presas ciclan y oscilan sin amortiguamiento alrededor del punto fijo con frecuencia ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\alpha \gamma }}}$.

El valor de la constante de movimiento V, o su equivlanete, K = exp(−V), ${\displaystyle K=y^{\alpha }e^{-\beta y}x^{\gamma }e^{-\delta x}}$, se puede encontrar para las órbitas cerradas cerca del punto fijo.

El incremento de K mueve una órbita cerrada más cerca del punto fijo. El mayor valor de la constante. K se obtiene resolviendo el problema de optimización:

$${\displaystyle y^{\alpha }e^{-\beta y}x^{\gamma }e^{-\delta x}={\frac {y^{\alpha }x^{\gamma }}{e^{\delta x+\beta y}}}\longrightarrow \max _{x,y>0}.}$$

El máximo valor de K se alcanza así en el punto estacionario (fijo) ${\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\delta }},{\frac {\alpha }{\beta }}\right)}$ e incrementa a

$${\displaystyle K^{*}=\left({\frac {\alpha }{\beta e}}\right)^{\alpha }\left({\frac {\gamma }{\delta e}}\right)^{\gamma },}$$

donde e es el número de Euler.

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\alpha x-\beta xy}$

Se asume que las presas tienen suministro de comida ilimitado por tiempo definido, y se reproducen exponencialmente a menos que exista algún predador. Este crecimiento exponencial está representado en la ecuación por el término αx. El término de la ecuación βxy viene a representar el encuentro de las dos especies y su interacción. Si x o y son cero no existe interacción.

Se puede interpretar la ecuación como el cambio del número de presas viene dado por su propio crecimiento menos la tasa de encuentros con predadores.

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=\delta xy-\gamma y}$

En esta ecuación, δxy representa el crecimiento de los depredadores (fíjese en la similitud con la ecuación para las presas, pero en este caso para el crecimiento de los depredadores es necesario usar la razón a la que se consumen las presas, x). γy representa la muerte natural de los depredadores de forma exponencial; a más depredadores es necesario que el número de víctimas o presa aumente para mantener la población.

Se puede interpretar la ecuación como el crecimiento de los depredadores por la caza de presas menos la muerte natural de estos.