Sistema no lineal

En matemáticas una función lineal es aquella que satisface las siguientes propiedades (ya que en un sistema tiene que poner en conjunto de dos o más ecuaciones).

1. Aditividad: ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\ }$
2. Homogeneidad: ${\displaystyle f(\alpha \,x)=\alpha \,f(x)\ }$

Estas dos reglas tomadas en conjunto se conocen como Principio de superposición.

Las ecuaciones no lineales son de interés en física y matemáticas debido a que la mayoría de los problemas físicos son implícitamente no lineales en su naturaleza. Ejemplos físicos de sistemas lineales son relativamente raros. Las ecuaciones no lineales son difíciles de resolver y dan origen a interesantes fenómenos como la teoría del caos. Una ecuación lineal puede ser descrita usando un operador lineal, L. Una ecuación lineal en algún valor desconocido de ${\displaystyle u}$ tiene la forma

${\displaystyle Lu=0\,}$

Una ecuación no lineal es una ecuación de la forma:

${\displaystyle F(u)=0\,}$

Para algún valor desconocido de ${\displaystyle u}$.

Para poder resolver cualquier ecuación se necesita decidir en qué espacio matemático se encuentra la solución ${\displaystyle u}$. Podría ser que ${\displaystyle u}$ es un número real, un vector o, tal vez, una función con algunas propiedades.

Las soluciones de ecuaciones lineales pueden ser generalmente descritas como una superposición de otras soluciones de la misma ecuación. Esto hace que las ecuaciones lineales sean fáciles de resolver.

Las ecuaciones no lineales son mucho más complejas, y mucho más difíciles de entender por la falta de soluciones simples superpuestas. Para las ecuaciones no lineales las soluciones generalmente no forman un espacio vectorial y, en general, no pueden ser superpuestas para producir nuevas soluciones. Esto hace el resolver las ecuaciones mucho más difícil que en sistemas lineales.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden a menudo son resolubles de manera exacta mediante la separación de variables, especialmente en el caso de ecuaciones autónomas. Por ejemplo, para la ecuación no lineal

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-u^{2}}$

la solución general es ${\displaystyle u={\frac {1}{x+C}}}$ (y también tiene la solución particular ${\displaystyle u=0,}$ correspondiente al límite de la solución general cuando C tiende a infinito). La ecuación es nolineal ya que se la puede expresar como

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}+u^{2}=0}$

y el término de la izquierda de la ecuación es no es una función lineal de ${\displaystyle u}$ y sus derivadas. Es de notar que si el término ${\displaystyle u^{2}}$ fuera reemplazado por ${\displaystyle u}$, entonces el problema sería lineal (el problema de decaimiento exponencial).

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden y de orden superior (más generalmente, los sistemas de ecuaciones no lineales) rara vez dan soluciones de forma cerrada, aunque se encuentran soluciones implícitas y soluciones que implican integrales no elementales.

Entre los métodos habituales para el análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales se incluyen:

• Examen de cualquier cantidad conservativa, especialmente el sistema hamiltoniano.
• Examen de cantidades disipativas (ver función de Lyapunov) análogas a las cantidades conservativas.
• Linearización vía serie de Taylor
• Cambio de variables a algo más fácil de estudiar
• Teoría de bifurcación
• Métodos de perturbación (pueden aplicarse también a ecuaciones algebraicas)
• Existencia de soluciones de duración finita,[8] lo que puede ocurrir bajo condiciones específicas para algunas ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales.

El enfoque básico más común para estudiar ecuaciones diferenciales parciales no lineales es cambiar las variables (o transformar el problema) para que el problema resultante sea más simple (posiblemente lineal). A veces, la ecuación puede transformarse en una o más ecuaciones diferenciales ordinarias, como se ve en el método de separación de variables, que siempre es útil si la ecuación diferencial ordinaria resultante (s) es o no resoluble.

Otra táctica común (aunque menos matemática), a menudo explotada en mecánica de fluidos y del calor, es utilizar el análisis de orden de magnitud para simplificar una ecuación general y natural en un determinado problema de condición de frontera específico. Por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes (muy) no lineales pueden simplificarse en una ecuación diferencial parcial lineal en el caso de un flujo transitorio, laminar y unidimensional en una tubería circular; el análisis de escala proporciona las condiciones en las que el flujo es laminar y unidimensional y también proporciona la ecuación simplificada.

Otros métodos incluyen el examen del método de las características y el uso de los métodos descritos anteriormente para las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Ilustración de un péndulo.

Linearizaciones de las ecuaciones del movimiento de un péndulo.

Un problema no lineal clásico y ampliamente estudiado es la dinámica de un péndulo sin fricción bajo la influencia de la gravedad. Utilizando la mecánica Lagrangiana, se puede demostrar[9] que el desplazamiento del péndulo puede ser descripto por la ecuación nolineal adimensional

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0}$

donde la gravedad apunta hacia "abajo" y ${\displaystyle \theta }$ es el ángulo que el péndulo forma con su posición de reposo, como se observa en la figura de la derecha. Un método de "resolver" esta ecuación es usar ${\displaystyle d\theta /dt}$ como un factor de integración, lo cual resulta en

${\displaystyle \int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}}$

que es una solución implícita que comprende una integral elíptica. Esta "solución" generalmente no tienen muchas aplicaciones dado que gran parte de la naturaleza de la solución se encuentra oculta en la integral no elemental (no elemental a menos que ${\displaystyle C_{0}=2}$).

Otra forma de abordar el problema es linealizar cualquier no linealidad (el término de la función seno en este caso) en los distintos puntos de interés mediante expansiones de Taylor. Por ejemplo, la linealización en ${\displaystyle \theta =0}$, llamada la linealización de aproximación de ángulo pequeño, es

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0}$

dado que ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$ para ${\displaystyle \theta \approx 0}$. Esto es un oscilador armónico simple correspondiente a las oscilaciones del péndulo cerca del punto inferior de su trayectoria. Otra linealización posible es en torno al punto ${\displaystyle \theta =\pi }$, correspondiente al péndulo en sentido vertical:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0}$

dado que ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \pi -\theta }$ for ${\displaystyle \theta \approx \pi }$. La solución de este problema involucra sinusoides hiperbólicas, y es de notar que a diferencia de la aproximación de ángulo pequeño, esta aproximación es inestable, o sea ${\displaystyle |\theta |}$ crecerá sin límite, si bien son posibles soluciones acotadas. Ello corresponde a la dificultad de balancear el péndulo invertido, lo cual es literalmente un estado inestable.

Una linearización más interesante es posible en torno a ${\displaystyle \theta =\pi /2}$, que resulta ${\displaystyle \sin(\theta )\approx 1}$:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.}$

Esto corresponde a un problema de caída libre. Se puede obtener una imagen cualitativa muy útil de la dinámica del péndulo juntando estas linealizaciones, como se ve en la figura de la derecha. Se pueden utilizar otras técnicas para encontrar retratos de fase (exactos) y periodos aproximados.