Ecuación de movimiento

Un sistema discreto de partículas o de sólidos rígidos tiene un número finito de grados de libertad. Los ejemplos clásicos de ecuación del movimiento más conocidos son:

1. La segunda ley de Newton que se usa en mecánica newtoniana: ${\displaystyle m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}-\mathbf {F} =0}$
2. Las ecuaciones de Euler-Lagrange que aparecen en mecánica lagrangiana: ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L(q_{i},{\dot {q}}_{i})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L(q_{i},{\dot {q}}_{i})}{\partial q_{i}}}=0}$
3. Las ecuaciones de Hamilton que aparecen en mecánica hamiltoniana: ${\displaystyle {\frac {dq_{i}}{dt}}={\frac {\partial H(p_{i},q_{i})}{\partial p_{i}}}\qquad {\frac {dp_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H(p_{i},q_{i})}{\partial q_{i}}}}$

Muchos sistemas de la mecánica clásica se modelizan como un medio continuo entre ellos los sólidos deformables y la mecánica de fluidos. Estos sistemas requieren ecuaciones de evolución temporal que involucran ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

El análogo de la primera ley de Newton en teoría de la teoría de la relatividad postula que cuando sobre las partículas no actúa ninguna fuerza estas se mueven a lo largo de las geodésicas del espacio-tiempo, es decir, sobre las líneas más "rectas" posibles o de curvatura mínima. Cuando sobre las partículas actúa alguna fuerza, la ecuación del movimiento en términos de tiempo propio de la partícula, los símbolos de Christoffel dependientes de la curvatura del espacio tiempo, y la fuerza total sobre la partícula viene dada por:

${\displaystyle m{\frac {\partial ^{2}x^{k}}{\partial \tau ^{2}}}+m\sum _{i,j=0}^{3}\Gamma _{ij}^{k}{\frac {\partial x^{i}}{\partial \tau }}{\frac {\partial x^{j}}{\partial \tau }}=F^{k}}$

Para una partícula moviéndose a través de un espacio-tiempo plano (${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=0}$), con velocidad pequeña respecto a la de la luz (${\displaystyle \tau \approx t}$) la anterior ecuación se reduce a la segunda ley de Newton.

Los sistemas físicos formados por un conjunto de partículas interactuantes de la mecánica clásica y los sistemas físicos de partículas relativistas sin interacción, son sistemas con un número finito de grados de libertad, cuyas ecuaciones de movimiento vienen dadas por ecuaciones diferenciales ordinarias como todos los ejemplos anteriores. Sin embargo, los campos físicos además de evolución temporal o variación en el tiempo, presentan variación en el espacio. Esa característica hace que los campos físicos se consideren informalmente como sistemas con un número infinito de grados de libertad. Las peculiaridades de los campos hacen que sus ecuaciones de "movimiento" o evolución temporal vengan dadas por ecuaciones en derivadas parciales en lugar de ecuaciones diferenciales ordinarias.

El campo físico más importante en el contexto de la teoría de la Relatividad Especial es el campo electromagnético, cuyas ecuaciones de evolución temporal vienen dadas por las ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones pueden escribirse de diversas maneras y de diversas notaciones, aunque en el contexto de la teoría de la relatividad conviene escribirlas en forma explícitamente covariante en términos del tensor campo electromagnético ${\displaystyle F^{\alpha \beta }}$. En esa forma, las ecuaciones se reducen a dos ecuaciones de la forma (unidades cgs):

${\displaystyle {\partial F^{\alpha \beta } \over {\partial x^{\alpha }}}={4\pi \over c}J^{\beta }\qquad {\partial F_{\alpha \beta } \over \partial x^{\gamma }}+{\partial F_{\gamma \alpha } \over \partial x^{\beta }}+{\partial F_{\beta \gamma } \over \partial x^{\alpha }}=\epsilon _{\mu \beta \gamma }g^{\alpha \mu }{\partial F^{\beta \gamma } \over \partial x^{\alpha }}=0}$

Donde se ha usado el convenio de sumación de Einstein, ${\displaystyle J^{\beta }}$ son las componentes del cuadrivector densidad de corriente. En esas ecuaciones aparecen las coordenadas ${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)}$ (donde c es la velocidad de la luz, t el tiempo, y (x,y,z) son las coordenadas cartesianas convencionales del espacio tridimensional. Así la evolución en el tiempo del campo electromagnético, si nos fijamos en un punto concreto del espacio viene medida por las derivadas respecto a la coordenada x<su>0</supo> = ct.

En el contexto de la teoría general de la relatividad aparece un problema adicional. La propia geometría del espacio-tiempo viene representada por un campo tensorial llamado tensor métrico. El propio campo gravitatorio es una manifestación de que la geometría del espacio-tiempo no es plana o euclídea. El campo gravitatorio de hecho es proporcional a la curvatura del espacio-tiempo. Las ecuaciones de evolución vuelven a ser ecuaciones diferenciales en derivadas parciales:

${\displaystyle R_{\alpha \beta }-{g_{\alpha \beta }R \over 2}+\Lambda g_{\alpha \beta }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\alpha \beta }}$

${\displaystyle R_{\alpha \beta }={R^{\rho }}_{\alpha \rho \beta }=\partial _{\rho }\Gamma _{\beta \alpha }^{\rho }-\partial _{\beta }\Gamma _{\rho \alpha }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\beta \alpha }^{\lambda }-\Gamma _{\beta \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \alpha }^{\lambda }}$

${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }={\frac {1}{2}}g^{\gamma \mu }\left({\frac {\partial g_{\mu \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\mu \beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x^{\mu }}}\right)}$

donde reaparecen los símbolos de Christoffel que aparecían en la ecuación del movimiento de las partículas. A diferencia de las ecuaciones del campo electromagnético, estas ecuaciones del campo gravitatorio o geometría del espacio-tiempo son ecuaciones no lineales debido a la presencia de términos que son el producto de dos Γ. Esto hace que las ecuaciones de Einstein del campo gravitatorio sean de difícil solución.

• Landau & Lifshitz: Mecánica, Ed. Reverté, Barcelona, 1991. ISBN 84-291-4081-6.
• Landau & Lifshitz, Teoría clásica de los campos, Ed. Reverté, ISBN 84-291-4082-4.