Eje helicoidal

Sea D : R³ → R³ un movimiento rígido que preserva la orientación de R³. El conjunto de estas transformaciones es un subgrupo del grupo euclídeo conocido como el grupo especial euclídeo SE(3). Estos movimientos rígidos se definen por las transformaciones de x en R³ dado por

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=A(\mathbf {x} )+\mathbf {d} }$

Consiste en una rotación tridimensional A seguida de una traslación del vector d.

Una rotación tridimensional A tiene un eje único que define una recta L. Sea el vector unitario en esta recta S para que el vector de traslación d se pueda resolver en una suma de dos vectores, uno paralelo y otro perpendicular al eje L, es decir,

${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {d} _{L}+\mathbf {d} _{\perp },\quad \mathbf {d} _{L}=(\mathbf {d} \cdot \mathbf {S} )\mathbf {S} ,\quad \mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {d} -\mathbf {d} _{L}.}$

En este caso, el movimiento rígido toma la forma

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=(A(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{\perp })+\mathbf {d} _{L}.}$

Ahora, el movimiento rígido conserva la orientación D* = A(x) + d_⊥ y transforma todos los puntos de R³ para que permanezcan en planos perpendiculares a L. Para un movimiento rígido de este tipo, hay un punto único c en el plano P perpendicular a L a través de 0, tal que

${\displaystyle D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C} )+\mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {C} .}$

El punto c se puede calcular como

${\displaystyle \mathbf {C} =[I-A]^{-1}\mathbf {d} _{\perp },}$

porque d_⊥ no tiene un componente en la dirección del eje de A.

Un movimiento rígido D* con un punto fijo debe ser una rotación alrededor del eje L_c a través del punto c. Por lo tanto, el movimiento rígido

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=D^{*}(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{L},}$

consiste en una rotación sobre la línea L_c seguida de una traslación según el vector d_L en la dirección de la recta L_c.

Conclusión: cada movimiento rígido de R³ es el resultado de una rotación de R³ sobre una recta L_c seguido de una traslación en la dirección de la e recta. La combinación de una rotación alrededor de una línea y la traslación en la recta se denomina movimiento helicoidal.

Un punto C en el eje helicoidal satisface la ecuación:[9]

${\displaystyle D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C} )+\mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {C} .}$

Se resuelve esta ecuación para C usando la fórmula de Cayley para una matriz de rotación

${\displaystyle [A]=[I-B]^{-1}[I+B],}$

donde [B] es la matriz antisimétrica construida a partir del vector de Rodrigues

${\displaystyle \mathbf {b} =\tan {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} ,}$

tal que

${\displaystyle [B]\mathbf {y} =\mathbf {b} \times \mathbf {y} .}$

Utilizando esta matriz de rotación A para obtener

${\displaystyle \mathbf {C} =[I-B]^{-1}[I+B]\mathbf {C} +\mathbf {d} _{\perp },\quad [I-B]\mathbf {C} =[I+B]\mathbf {C} +[I-B]\mathbf {d} _{\perp },}$

que se convierte en

${\displaystyle -2[B]\mathbf {C} =[I-B]\mathbf {d} _{\perp }.}$

Esta ecuación se puede resolver para C en el eje helicoidal P(t) para obtener,

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} -\mathbf {b} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {d} )}{2\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}.}$

El eje helicoidal P(t) = C + tS de este desplazamiento espacial tiene las coordenadas plückerianas S = (S, C × S).[9]

Eje helicoidal 3₁ en la estructura cristalina del telurio

En cristalografía, una simetría de eje helicoidal es una combinación de una rotación alrededor de un eje y de una traslación paralela a ese eje, que deja un cristal en una posición equivalente a la de partida. Si φ = 360°/n para algún entero n positivo, entonces la simetría del eje helicoidal implica simetría traslacional con un vector de traslación de valor n multiplicado por el desplazamiento del helicoide.

El movimiento de un cuerpo rígido puede ser la combinación de la rotación alrededor de un eje (el eje helicoidal) y una traslación respecto a ese eje. Este movimiento helicoidal se caracteriza por el vector de velocidad para la traslación y el vector velocidad angular en la misma dirección u opuesta. Si estos dos vectores son constantes y a lo largo de uno de los ejes principales del cuerpo, no se necesitan fuerzas externas para verificar este movimiento (suma de desplazamiento y giro). Como ejemplo, si se ignoran la gravedad y el arrastre, este es el movimiento de una bala disparada con un arma de ánima rayada.

Este parámetro se usa a menudo en biomecánica, cuando se describe el movimiento de las articulaciones del cuerpo. Durante cualquier período de tiempo, el movimiento de la articulación puede verse como el movimiento de un solo punto en una superficie articulada con respecto a la superficie adyacente (generalmente distal con respecto a proximal). La traslación total y las rotaciones en la trayectoria del movimiento se pueden definir como las integrales respecto al tiempo de la traslación instantánea y de las velocidades de rotación para un tiempo de referencia dado.[10]

En cualquier plano individual, la trayectoria formada por las ubicaciones del eje de rotación instantáneo en movimiento se conoce como centroide, y se usa en la descripción del movimiento de la articulación.