Extensión simple

• ${\displaystyle K(\alpha )}$ es un subconjunto de ${\displaystyle L}$:

Todo elemento de ${\displaystyle K[x]}$ está también en ${\displaystyle L[x]}$, y como ${\displaystyle \alpha \in L}$, si ${\displaystyle f\in K[x]}$ entonces ${\displaystyle f(\alpha )\in L}$. Si ${\displaystyle g\in K[x]}$ entonces es ${\displaystyle g(\alpha )\in L}$, y si ${\displaystyle g(\alpha )\neq 0}$, existe ${\displaystyle g(\alpha )^{-1}\in L}$. Así pues, ${\displaystyle {\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}:=f(\alpha )\cdot g(\alpha )^{-1}\in L}$ y es ${\displaystyle K(\alpha )\subset L}$.

• De hecho, ${\displaystyle K(\alpha )}$ es subcuerpo de ${\displaystyle L}$.

Definimos las operaciones suma y producto en ${\displaystyle K(\alpha )}$ como las restricciones a ${\displaystyle K(\alpha )}$ de las operaciones del cuerpo de cocientes de ${\displaystyle L}$, i.e., si ${\displaystyle {\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}},{\frac {p(\alpha )}{q(\alpha )}}\in K(\alpha )}$ , entonces:

${\displaystyle \mathrm {i} )\quad {\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}+{\frac {p(\alpha )}{q(\alpha )}}:={\frac {f(\alpha )q(\alpha )+p(\alpha )g(\alpha )}{g(\alpha )q(\alpha )}}}$

${\displaystyle \mathrm {ii} )\quad {\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}\cdot {\frac {p(\alpha )}{q(\alpha )}}:={\frac {f(\alpha )\cdot p(\alpha )}{g(\alpha )q(\alpha )}}}$.

Por ser ${\displaystyle K[x]}$ un anillo y ${\displaystyle L}$ un cuerpo, es sencillo demostrar que la suma y el producto así definidos en ${\displaystyle K(\alpha )}$ son operaciones internas en ${\displaystyle K(\alpha )}$.

Como ${\displaystyle L}$ es cuerpo, en particular es dominio de integridad, y por la Propiedad Universal del Cuerpo de Cocientes de un Dominio Íntegro, el cuerpo de cocientes de ${\displaystyle L}$ es ${\displaystyle Q(L)=L}$ (el menor cuerpo que contiene a ${\displaystyle L}$ es el propio ${\displaystyle L}$). Así se demuestra que ${\displaystyle K(\alpha )}$, con las operaciones así definidas, es subcuerpo de ${\displaystyle L}$.

• ${\displaystyle K}$ es un subconjunto de ${\displaystyle K(\alpha )}$

Para comprobar que ${\displaystyle K\subset K(\alpha )}$, basta con tomar el cociente ${\displaystyle {\frac {a(\alpha )}{1(\alpha )}}={\frac {a}{1}}=a}$ para cada ${\displaystyle a\in K}$ (donde identificamos ${\displaystyle a\in K}$ con el polinomio constante ${\displaystyle a(x)=a\in K[x]}$). Además, como las operaciones en ${\displaystyle L}$ son las extensiones de las operaciones en ${\displaystyle K}$, es inmediato que ${\displaystyle K}$ es subcuerpo de ${\displaystyle K(\alpha )}$.

Tomando el polinomio ${\displaystyle x\in K[x]}$, entonces es ${\displaystyle \alpha ={\frac {\alpha }{1}}={\frac {x(\alpha )}{1(\alpha )}}}$, luego ${\displaystyle \alpha \in K(\alpha )}$.

Todo esto demuestra que ${\displaystyle K(\alpha )}$ es una extensión de ${\displaystyle K}$ y subcuerpo de ${\displaystyle L}$.

• Finalmente, ${\displaystyle K(\alpha )}$ es la menor extensión de ${\displaystyle K}$ que contiene a ${\displaystyle \alpha }$:

Sea ahora una extensión ${\displaystyle E}$ de ${\displaystyle K}$ de forma que ${\displaystyle \alpha \in E}$. Como ${\displaystyle K(\alpha ):=\{{\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}:f,g\in K[x],g(\alpha )\neq 0\}}$ y ${\displaystyle K\subset E}$, si ${\displaystyle f,g\in K[x]}$, entonces ${\displaystyle f,g\in E[x]}$, y como ${\displaystyle \alpha \in E}$, entonces ${\displaystyle f(\alpha ),g(\alpha )\in E}$. Por último, como ${\displaystyle E}$ es cuerpo, si ${\displaystyle g(\alpha )\neq 0}$, entonces existe ${\displaystyle g(\alpha )^{-1}\in E}$ y ${\displaystyle {\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}\in E}$, luego ${\displaystyle K(\alpha )\subset E}$.

Queda entonces demostrado que ${\displaystyle K(\alpha )}$ es la menor extensión de ${\displaystyle K}$ que contiene a ${\displaystyle \alpha }$. A este proceso se le denomina a veces adjunción de un elemento ${\displaystyle \alpha }$ a un cuerpo ${\displaystyle K}$.

Una extensión simple ${\displaystyle K(\alpha ):K}$ puede ser algebraica o trascendente, dependiendo de si ${\displaystyle \alpha }$ es un elemento algebraico o trascendente sobre ${\displaystyle K}$. Si ${\displaystyle \alpha }$ es trascendente, entonces el grado ${\displaystyle [K(\alpha ):K]}$ de la extensión es infinito. Si ${\displaystyle \alpha }$ es algebraico, entonces el grado ${\displaystyle [K(\alpha ):K]}$ de la extensión es finito. En concreto, ${\displaystyle [K(\alpha ):K]=\deg(m_{\alpha }^{k})}$, siendo ${\displaystyle m_{\alpha }^{K}}$ el polinomio mónico irreducible de ${\displaystyle \alpha }$ sobre ${\displaystyle K}$. Se deduce que toda extensión simple que sea algebraica es de grado finito.

Recíprocamente, si la extensión L/K admite un elemento primitivo, entonces L puede ser una extensión finita de K, caso en el que ζ es un elemento algebraico de L sobre K, o en cambio L es isomorfo al cuerpo de funciones racionales sobre K en una indeterminada, en este caso ζ es un elemento trascendente de L sobre K.

En general, el teorema del elemento primitivo se enuncia de la siguiente forma:

Un importante corolario de dicho teorema afirma:

Dicho corolario es aplicable al ejemplo expuesto más arriba (y a muchos similares), ya que Q tiene característica 0 por lo que toda extensión finita sobre Q es separable.

Para extensiones inseparables (o no separables), se puede afirmar lo siguiente:

Si el grado de la extensión no es un número primo y la extensión no es separable, se pueden encontrar contraejemplos. Por ejemplo, si K es F_p(T,U), el cuerpo de las funciones racionales con dos indeterminadas T y U sobre el cuerpo finito con p elementos, y L se obtiene a partir de K adjuntando una raíz pesima de T, y de U, entonces no existe ningún elemento primitivo de L sobre K. De hecho se puede ver que para cualquier α en L, el elemento α^p pertenece a K. Además tenemos que [L:K] = p² pero no existen elementos de L con grado p² sobre K, como un elemento primitivo debería tener.