Energía de Dirichlet

Dado un conjunto abierto ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ y una función ${\displaystyle u:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ la energía de Dirichlet de la función ${\displaystyle u}$ es el número real

${\displaystyle E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\nabla u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x,}$

donde ${\displaystyle \nabla u:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ denota el gradiente del campo vectorial de la función ${\displaystyle u}$.

Puesto que es la integral de una cantidad no negativa, la energía de Dirichlet no es una cantidad negativa, i.e. ${\displaystyle E[u]\geq 0}$ para cualquier función ${\displaystyle u}$.

Resolver la ecuación de Laplace

${\displaystyle -\Delta u(x)=0{\text{ para todo }}x\in \Omega }$

(sujeta a las apropiadas condiciones de frontera) es equivalente a resolver el problema de variaciones de encontrar una función ${\displaystyle u}$ que satisfaga las condiciones de contorno y tenga la mínima energía de Dirichlet.

Tal solución es llamada función armónica y esas soluciones son el tema de estudio de la teoría del potencial.

• Principio de Dirichlet (teoría del potencial)
• Variación total
• Oscilación media acotada

• Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0772-9.

• Weisstein, Eric W. «Dirichlet Energy». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.