Energía potencial electrostática

Para una carga puntual q en presencia de un campo eléctrico E producido por otra carga puntual Q, la energía potencial electrostática se define como el negativo del trabajo hecho por la fuerza electrostática para llevar la carga desde la posición de referencia r_ref hasta la posición r: matemáticamente esto es una integral de línea.[2] El campo eléctrico es conservativo, y, para una carga puntual, es radial, por lo que el trabajo es independiente de la trayectoria y es igual a la diferencia de energía potencial entre los puntos extremos del movimiento. Matemáticamente:

${\displaystyle U_{E}(r_{\rm {ref}})-U_{E}(r)=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =-q\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \,\!}$

donde:

• r = posición en un espacio tridimensional, usando coordenadas cartesianas r = (x, y, z), r = |r| es el módulo del vector de posición,
• ${\displaystyle \scriptstyle W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}}$ es el trabajo hecho para llevar la carga desde la posición de referencia r_ref hasta r,
• F = Fuerza producida sobre q por Q,
• E = Campo eléctrico producido por Q.

Normalmente U_E se considera cero cuando r_ref es infinito:

${\displaystyle U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0\,\!}$

por lo que

${\displaystyle -U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =-q\int _{\infty }^{r}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \,\!}$

Como E y por lo tanto F, y r, son radiales desde Q, F y dr deben ser antiparalelos por lo que

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =|\mathbf {F} |\cdot |\mathrm {d} \mathbf {r} |\cos(\pi )=-F\mathrm {d} r\,\!}$

usando la Ley de Coulomb:

${\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r^{2}}}\,\!}$

podemos evaluar la integral:

${\displaystyle U_{E}(r)=\int _{\infty }^{r}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r^{2}}}{\rm {d}}r={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}\,\!}$

Normalmente la constante k_e llamada constante de Coulomb se usa en estas expresiones. En unidades del Sistema Internacional, la constante de Coulomb es

${\displaystyle k_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$,

siendo ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ la permeabilidad del vacío.