Equicontinuidad

Sean ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,}$ espacio topológico, ${\displaystyle (Y,d)\,}$ espacio métrico, y ${\displaystyle x_{0}}$ un punto en ${\displaystyle X}$. Un conjunto ${\displaystyle H}$ de funciones de ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$ se dice equicontinuo en ${\displaystyle x_{0}}$ si y solamente si para todo ${\displaystyle r>0,\exists A}$ entorno de ${\displaystyle x_{0}}$ tal que ${\displaystyle \forall f\in H,f(A)\subseteq B(f(x_{0}),r)}$

Notar que, en particular, si ${\displaystyle H}$ es equicontinuo en ${\displaystyle x_{0}}$, entonces todas las funciones que pertenecen a ${\displaystyle H}$ son continuas en ${\displaystyle x_{0}}$.

Decimos que ${\displaystyle H}$ es equicontinua si lo es para todo ${\displaystyle x_{0}\in X}$.