Espacio de Sierpinski

El espacio de Sierpiński es el conjunto ${\displaystyle S=\{0,1\}}$ con la topología ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{S}}$ siguiente:

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{S}=\{\emptyset ,\{0\},S\}}$

Propiedades básicas del espacio de Sierpinski:[1]

• Los únicos conjuntos abiertos son ${\displaystyle \emptyset }$, ${\displaystyle \{0\}}$ y ${\displaystyle S}$.
• Los únicos conjuntos cerrados son ${\displaystyle \emptyset }$, ${\displaystyle \{1\}}$ y ${\displaystyle S}$.
• La clausura de ${\displaystyle \{1\}}$ es ${\displaystyle \{1\}}$ y la de ${\displaystyle \{0\}}$ es ${\displaystyle S}$.
• Es un espacio de Kolmogórov (${\displaystyle T_{0}}$).
• No es un espacio de Fréchet (${\displaystyle T_{1}}$).
• No es un espacio de Hausdorff (${\displaystyle T_{2}}$).
• No es un espacio ${\displaystyle T_{n}}$ con ${\displaystyle n>1}$.
• Es un espacio compacto.
• Es 1AN y 2AN.
• Toda sucesión en ${\displaystyle S}$ converge a 0.
• Si una sucesión en ${\displaystyle S}$ converge a 1, entonces tiene un número finito de términos iguales a 0.
• Es un espacio no metrizable.
• Es un espacio conexo.

• Espacio topológico
• Espacio metrizable
• Espacio compacto
• Espacio de Hausdorff

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 507446.