Espacio de Fréchet

Un espacio vectorial topológico ${\displaystyle X}$ es un espacio de Fréchet si y solo si satisface las siguientes tres propiedades:

1. Es un espacio localmente convexo.[nota 2]
2. Su topología puede ser inducida por una métrica invariante a la traslación, es decir, una métrica ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle d(x,y)=d(x+z,y+z)}$ para todo ${\displaystyle x,y,z\in X.}$ Esto significa que un subconjunto ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle X}$ es abierto si y solo si para cada ${\displaystyle u\in U}$ existe un ${\displaystyle r>0}$ tal que ${\displaystyle \{v:d(v,u)<r\}}$ es un subconjunto de ${\displaystyle U.}$
3. Algunas (o de manera equivalente, todas) las métricas invariantes a la traslación en ${\displaystyle X}$ que inducen la topología de ${\displaystyle X}$ son completas.

• Suponiendo que se cumplan las otras dos condiciones, esta condición es equivalente a que ${\displaystyle X}$ sea un espacio vectorial topológico completo, lo que significa que ${\displaystyle X}$ es un espacio uniforme completo cuando está dotado de su uniformidad canónica (esta uniformidad canónica es independiente de cualquier métrica en ${\displaystyle X}$ y se define completamente en términos de sustracción de vectores y entornos del origen de ${\displaystyle X}$; además, la uniformidad inducida por cualquier métrica invariante a la traslación (que define la topología) en ${\displaystyle X}$ es idéntica a esta uniformidad canónica).

Debe tenerse en cuenta que no existe una noción natural de distancia entre dos puntos de un espacio de Fréchet: muchas métricas invariantes a la traslación diferentes pueden inducir la misma topología.

La definición alternativa y algo más práctica es la siguiente: un espacio vectorial topológico ${\displaystyle X}$ es un espacio de Fréchet si y solo si satisface las siguientes tres propiedades:

1. Es un espacio de Hausdorff
2. Su topología puede ser inducida por una familia contable de seminormas ${\displaystyle ||\cdot ||_{k}}$ ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$. Esto significa que un subconjunto ${\displaystyle U\subseteq X}$ es abierto si y solo si para cada ${\displaystyle u\in U}$ existe ${\displaystyle K\geq 0}$ y ${\displaystyle r>0}$ tal que ${\displaystyle \{v\in X:\|v-u\|_{k}<r{\text{ para todo }}k\geq K\}}$ es un subconjunto de ${\displaystyle U,}$
3. Es completo con respecto a la familia de seminormas.

• Suponiendo que se cumplan las otras dos condiciones, esta condición es equivalente a que ${\displaystyle X}$ sea un espacio vectorial topológico completo, lo que significa que ${\displaystyle X}$ es un espacio uniforme completo cuando está dotado de su uniformidad canónica (esta uniformidad canónica es independiente de cualquier métrica en ${\displaystyle X}$ y se define completamente en términos de la resta de vectores y los entornos del origen de ${\displaystyle X}$; además, la uniformidad inducida por cualquier métrica invariante a la traslación (que define la topología) en ${\displaystyle X}$ es idéntica a esta uniformidad canónica).

Debe tenerse en cuenta que no existe una noción natural de distancia entre dos puntos de un espacio de Fréchet: muchas métricas invariantes a la traslación diferentes pueden inducir la misma topología.

A diferencia de los espacios de Banach, la métrica completa invariante a la traslación no necesita surgir de una norma. Sin embargo, la topología de un espacio de Fréchet surge tanto de una paranorma total como de una F-norma (la "F" significa de Fréchet).

Aunque el espacio topológico de los espacios de Fréchet es más complicado que el de los espacios de Banach debido a la posible falta de una norma, aún se mantienen muchos resultados importantes en el análisis funcional, como el teorema de la función abierta, el teorema de la gráfica cerrada y el teorema de Banach-Steinhaus.

• Todo espacio de Banach es un espacio de Fréchet, ya que la norma induce una métrica invariante a la traducción y el espacio es completo con respecto a esta métrica.
• El espacio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ de todas las secuencias de valor real se convierte en un espacio de Fréchet si se define la seminorma ${\displaystyle k}$-ésima de una secuencia como el valor absoluto del elemento ${\displaystyle k}$-ésimo de la secuencia. La convergencia en este espacio de Fréchet es equivalente a la convergencia de elementos.

• El espacio vectorial ${\displaystyle C^{\infty }([0,1])}$ de todas las funciones infinitamente diferenciables ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$ se convierte en un espacio de Fréchet con las seminormas

$${\displaystyle \|f\|_{k}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [0,1]\}}$$

para cada entero no negativo ${\displaystyle k.}$ Aquí, ${\displaystyle f^{(k)}}$ denota la ${\displaystyle k}$-ésima derivada de ${\displaystyle f,}$ y ${\displaystyle f^{(0)}=f.}$ En este espacio de Fréchet, una secuencia ${\displaystyle \left(f_{n}\right)\to f}$ de funciones converge hacia el elemento ${\displaystyle f\in C^{\infty }([0,1])}$ si y solo si para cada entero no negativo ${\displaystyle k\geq 0,}$ la secuencia ${\displaystyle \left(f_{n}^{(k)}\right)\to f^{(k)}}$ converge uniformemente .

• El espacio vectorial ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ de todas las funciones infinitamente diferenciables ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ se convierte en un espacio de Fréchet con las seminormas

$${\displaystyle \|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [-n,n]\}}$$

para todos los enteros ${\displaystyle k,n\geq 0.}$ Entonces, una sucesión de funciones ${\displaystyle \left(f_{n}\right)\to f}$ converge si y solo si para todo ${\displaystyle k,n\geq 0,}$ las sucesiones ${\displaystyle \left(f_{n}^{(k)}\right)\to f^{(k)}}$ convergen compactamente.

• El espacio vectorial ${\displaystyle C^{m}(\mathbb {R} )}$ de todas las funciones continuamente diferenciables ${\displaystyle m}$-tiempos ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ se convierte en un espacio de Fréchet con las seminormas

$${\displaystyle \|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [-n,n]\}}$$

para todos los enteros ${\displaystyle n\geq 0}$ y ${\displaystyle k=0,\ldots ,m.}$

• Si ${\displaystyle M}$ es una variedad ${\displaystyle C^{\infty }}$ compacta y ${\displaystyle B}$ es un espacio de Banach, entonces el conjunto ${\displaystyle C^{\infty }(M,B)}$ de todas las funciones infinitamente diferenciables ${\displaystyle f:M\to B}$ se puede convertir en un espacio de Fréchet usando como seminormas la suprema de las normas de todas las derivadas parciales. Si ${\displaystyle M}$ es una variedad ${\displaystyle C^{\infty }}$ (no necesariamente compacta) que admite una secuencia numerable ${\displaystyle K^{n}}$ de subconjuntos compactos, de modo que cada subconjunto compacto de ${\displaystyle M}$ está contenido en al menos un ${\displaystyle K^{n},}$, entonces los espacios ${\displaystyle C^{m}(M,B)}$ y ${\displaystyle C^{\infty }(M,B)}$ también son espacios de Fréchet de manera natural.

Como caso especial, cada variedad completa suave de dimensión finita ${\displaystyle M}$ se puede convertir en una unión anidada de subconjuntos compactos: equípese con una variedad de Riemann ${\displaystyle g}$ que induce una métrica ${\displaystyle d(x,y),}$, elíjase ${\displaystyle x\in M,}$; y entonces

$${\displaystyle K_{n}=\{y\in M:d(x,y)\leq n\}\ .}$$

Sea ${\displaystyle X}$ una ${\displaystyle C^{\infty }}$-variedad compacta y ${\displaystyle V}$ un fibrado vectorial sobre ${\displaystyle X.}$ Sea ${\displaystyle C^{\infty }(X,V)}$ el espacio de secciones uniformes de ${\displaystyle V}$ sobre ${\displaystyle X.}$ Elíjanse métricas y conexiones riemannianas, cuya existencia está garantizada, en los haces ${\displaystyle TX}$ y ${\displaystyle V.}$ Si ${\displaystyle s}$ es una sección, denótese su derivada covariante j^th por ${\displaystyle D^{j}s.}$ Entonces

$${\displaystyle \|s\|_{n}=\sum _{j=0}^{n}\sup _{x\in M}|D^{j}s|}$$

(donde ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ es la norma inducida por la métrica de Riemann) es una familia de seminormas que convierten a ${\displaystyle C^{\infty }(M,V)}$ en un espacio de Fréchet.

• Sea ${\displaystyle H}$ el espacio de funciones enteras (en todas partes holomorfas) en el plano complejo. Entonces la familia de seminormas

$${\displaystyle \|f\|_{n}=\sup\{|f(z)|:|z|\leq n\}}$$

convierte ${\displaystyle H}$ en un espacio Fréchet.

• Sea ${\displaystyle H}$ el espacio de funciones enteras (holomorfas en todas partes) de tipo exponencial ${\displaystyle \tau .}$ Entonces, la familia de seminormas

$${\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|}$$

convierte ${\displaystyle H}$ en un espacio de Fréchet.

No todos los espacios vectoriales con métricas invariantes de traducción completas son espacios de Fréchet. Un ejemplo es el espacio ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ con ${\displaystyle p<1.}$

Aunque este espacio no es localmente convexo, es un F-espacio.

Si ${\displaystyle X}$ es un espacio localmente convexo, entonces la topología de ${\displaystyle X}$ puede ser definida por una familia de normas continuas en ${\displaystyle X}$ (una norma es una seminorma definida positiva) si y solo si existe al menos una norma continua en ${\displaystyle X.}$[11]

Incluso si un espacio de Fréchet tiene una topología que está definida por una familia (contable) de normas (todas las normas también son seminormas), es posible que aún no sea un espacio vectorial normado (lo que significa que su topología no puede ser definida por ninguna norma única).

El espacio de todas las secuencias ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ (con la topología del producto) es un espacio de Fréchet. No existe ninguna topología de Hausdorff localmente convexa en ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ que sea estrictamente más gruesa que esta topología del producto.[12]

El espacio ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ no es normable, lo que significa que su topología no puede ser definida por ninguna norma.[12] Además, no existe ninguna norma continua sobre ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$. De hecho, como muestra el siguiente teorema, siempre que ${\displaystyle X}$ es un espacio de Fréchet en el que no existe ninguna norma continua, esto se debe enteramente a la presencia de ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ como subespacio.

Si ${\displaystyle X}$ es un espacio de Fréchet no normable en el que existe una norma continua, entonces ${\displaystyle X}$ contiene un subespacio vectorial cerrado que no tiene complemento topológico.[13]

Un espacio espacio localmente convexo metrizable es normable si y solo si su espacio dual fuerte es un espacio de Fréchet–Urysohn localmente convexo.[8] En particular, si un espacio metrizable localmente convexo ${\displaystyle X}$ (como un espacio de Fréchet) es no normable (lo que solo puede suceder si ${\displaystyle X}$ es de dimensión infinita), entonces su espacio dual fuerte ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ no es un espacio de Fréchet-Urysohn y, en consecuencia, este espacio de Hausdorff completo localmente convexo ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ tampoco es metrizable ni normable.

El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet (y más generalmente de los espacios bornológicos como los espacios vectoriales topológicos metrizables) es siempre un espacio vectorial topológico completo y, por lo tanto, como cualquier espacio vectorial topológico completo, es normable si y solo si su topología puede ser inducida por un espacio de Banach (es decir, si y solo si se puede convertir en un espacio de Banach que tenga la misma topología). Si ${\displaystyle X}$ es un espacio de Fréchet, entonces ${\displaystyle X}$ es normable si (y solo si) existe una norma completa en su espacio dual continuo ${\displaystyle X'}$ tal que la topología inducida por la norma en ${\displaystyle X'}$ es más fina que la topología débil-*.[14]

En consecuencia, si un espacio de Fréchet es no normal (lo que solo puede suceder si es de dimensión infinita), entonces tampoco lo es su espacio dual fuerte.

Debe tenerse en cuenta que el homeomorfismo descrito en el teorema de Anderson-Kadec es no necesariamente lineal.