Espacio sucesionalmente compacto

El espacio de los números reales con la topología estándar no es sucesionalmente compacto, la sucesión (s_n = n) para todo número natural n es una sucesión que no tiene ninguna subsucesión convergente.

Si un espacio es un espacio métrico, entonces es sucesionalmente compacto si y solo si es compacto.[1] Sin embargo, en general existen espacios sucesionalmente compactos que no son compactos (como el primer ordinal no numerable con la topología del orden), y espacios compactos que no son sucesionalmente compactos (como el producto de ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$ copias del intervalo unidad cerrado).[2]

• Se dice que un espacio topológico X es compacto de punto límite si todo subconjunto infinito de X tiene un punto límite en X.
• Un espacio topológico es numerablemente compacto si todo recubrimiento abierto numerable tiene un subrecubrimiento finito.

En un espacio métrico, las nociones de compacidad sucesional, compacidad de punto límite, compacidad numerable y compacidad son equivalentes.

En un espacio sucesional (de Hausdorff) la compacidad sucesional es equivalente a la compacidad numerable.[3]

También existe una noción de compactificación sucesional a un punto. La idea es que las sucesiones no convergente deben converger a un punto añadido.[4]

• Teorema de Bolzano-Weierstrass
• Teorema de Eberlein-Šmulian

• Munkres, James (1999). Topology (2nd edición). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.