Espiral de Teodoro

Cada una de las hipotenusas de los triángulos h_i (que se corresponden con los radios de la espiral) dan la raíz cuadrada para el número natural consecutivo, con h₁ = √2, h₂ = √3, h₃ = √4=2 y así sucesivamente.

En 1958, Erich Teuffel demostró que no hay dos hipotenusas de los triángulos con los que se construye la hélice, que coincidan sobre el mismo radio. Además, si los catetos que miden una unidad de longitud se prolongan mediante una línea recta, nunca pasarán a través de ningún otro de los vértices de la espiral.[3][4]

Si φ_n es el ángulo del n-ésimo triángulo (o segmento de espiral), entonces:

${\displaystyle \tan \left(\varphi _{n}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}.}$

Por lo tanto, el crecimiento del ángulo φ_n del siguiente triángulo n es:[5]

${\displaystyle \varphi _{n}=\arctan \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right).}$

La suma de los ángulos de los primeros k triángulos, se designa ángulo total φ(k) del k triángulo, y es igual a:

${\displaystyle \varphi \left(k\right)=\sum _{n=1}^{k}\varphi _{n}=2{\sqrt {k}}+c_{2}(k)}$

con

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }c_{2}(k)=-2.157782996659\ldots .}$

Un triángulo o sección de la espiral

El crecimiento del radio de la espiral hasta un cierto triángulo n es

${\displaystyle \Delta r={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}.}$

Dado que el incremento del radio en cada vuelta tiende a Π, a medida que se incrementa el número de vueltas, la longitud de la espira tiende a crecer en cada vuelta:

${\displaystyle \Delta l=2\Pi \Delta r=2\Pi ^{2}=19.7392088022...}$

y el área de cada espira, tiende a incrementarse respecto a la anterior en:

${\displaystyle \Delta S=\Delta l\Delta r=2\Pi ^{2}\Pi =2\Pi ^{3}=62.0125533606...}$

La espiral de Teodoro frente a la espiral de Arquímedes

La espiral de Teodoro se aproxima a una espiral de Arquímedes[5] con la expresión:

${\displaystyle \,r=1.078891298+(1/2)\theta }$

La distancia entre dos brazos consecutivos de la espiral de Arquímedes es proporcional a pi. Cuando el número de giros de la espiral de Teodoro tiende a infinito, la distancia entre dos brazos de espiral consecutivos se aproxima rápidamente a π.

La siguiente tabla muestra la distancia media entre cada brazo de la espiral de Teodoro y el anterior, aproximándose a π:

Como puede verse, después de la quinta vuelta de la espiral,[1] la distancia tiene un exactitud aproximada de 99.97% con respecto al valor de π.