Extrapolación de Richardson

Para una función variable en x, la primera derivada está definida por:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

Una simple aproximación se tiene por la diferencia hacia adelante, de forma que:

${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

Esta aproximación está lejos del valor real, por tanto para hacer un análisis del error, expandimos en forma de serie de Taylor:

${\displaystyle f(x+h)=f(x)+hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {h^{3}}{3!}}f'''(x)+\cdots }$

Substrayendo f(x) de ambos lados y dividiendo por h, se tiene que:

${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x)+{\frac {h}{2}}f''(x)+{\frac {h^{2}}{3!}}f'''(x)+\cdots =f'(x)+O(h)}$

Análogamente se derivan las demás fórmulas de aproximación, deduciendo por ejemplo, con diferencia hacia atrás o cambiando los valores de h; de esta forma se obtiene una expresión generalizada llamada extrapolación de Richardson:

Sea A, la respuesta exacta a la integral, y A(h) la estimación de A con orden ${\displaystyle h^{k_{0}}}$. De tal forma que:

${\displaystyle A=\lim _{h\to 0}A(h)}$

${\displaystyle A=\underbrace {A(h)} _{O(h^{k_{0}})}+\underbrace {a_{1}h^{k_{1}}+\underbrace {a_{2}h^{k_{2}}+\underbrace {a_{3}h^{k_{3}}+...} _{O(h^{k_{3}})}} _{O(h^{k_{2}})}} _{O(h^{k_{1}})}}$

Donde:

${\displaystyle O(h^{k_{n}})}$ es un estimador del error, usando la notación de Landau.

${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ~~~y~~~k_{1},k_{2},k_{3},\cdots }$ son constantes desconocidas. Tal que ${\displaystyle a_{i}\neq 0~~~y~~~k_{1}<k_{2}<k_{3}<\cdots <k_{n}}$

Ahora bien: Usando tamaños de espaciamiento h y h/t, podemos aproximar a A como:

${\displaystyle A=A(h)+a_{1}h^{k_{1}}+O(h^{k_{2}})~~~~(1)}$

${\displaystyle A=A\left({\frac {h}{t}}\right)+a_{1}\left({\frac {h}{t}}\right)^{k_{1}}+O{\Big (}{\frac {h}{t}}{\Big )}^{k_{2}}}$

Multiplicando la última ecuación por ${\displaystyle t^{k_{1}}}$

${\displaystyle t^{k_{1}}A=t^{k_{1}}A{\Big (}{\frac {h}{t}}{\Big )}+t^{k_{1}}a_{1}{\Big (}{\frac {h}{t}}{\Big )}^{k_{1}}+t^{k_{1}}O{\Big (}{\frac {h}{t}}{\Big )}^{k_{2}}~~~~(2)}$

Sustrayendo (2) y (1), como se vio al inicio:

${\displaystyle (t^{k_{1}}-1)A=t^{k_{1}}A{\Big (}{\frac {h}{t}}{\Big )}-A(h)+\underbrace {t^{k_{1}}O{\Big (}{\frac {h}{t}}{\Big )}^{k_{2}}-O(h^{k_{2}})} _{O(h^{k_{2}})}}$

Despejando A:

${\displaystyle A={\frac {t^{k_{1}}A{\Big (}{\frac {h}{t}}{\Big )}-A(h)}{(t^{k_{1}}-1)}}+O(h^{k_{2}})}$

De este modo, se ha obtenido una mejor aproximación de A al sustraer el término más grande en el error, ${\displaystyle O(h^{k_{1}})}$. De igual manera se pueden remover más términos de error de modo que se obtengan mejores aproximaciones de A. Una relación de recurrencia general puede ser implementada en las aproximaciones al hacer:

${\displaystyle A_{i+1}(h)\approx {\frac {t^{k_{i}}A_{i}{\Big (}{\frac {h}{t}}{\Big )}-A_{i}(h)}{(t^{k_{i}}-1)}},}$ siendo ${\displaystyle k_{i}\,}$ el orden del error

con:

${\displaystyle A=A_{i+1}(h)+O(h^{k_{i}+1})~~~y~~~A_{1}=A(h)}$

Las aplicaciones más inmediatas de la Extrapolación de Richardson en los métodos numéricos son dos: derivación numérica mediante diferencias centradas y las fórmulas de Newton-Cotes para la integración numérica.