Fórmula de De Moivre

Sello con la efigie de Euler

La forma actual de la fórmula aparece en la obra Introductio in analysin infinitorum[1] de Euler, que la demuestra[2] para todos los enteros naturales ${\displaystyle n}$ en 1748. Pero también aparece implícitamente en los trabajos de Abraham de Moivre varias veces desde 1707,[3] en su trabajo sobre las raíces ${\displaystyle n}$-ésimas de números complejos. De hecho, los dos problemas están relacionados: escribir que (cos x + i sin x)ⁿ = cos(nx) + i sin(nx) es equivalente a decir que cos x + i sin x es una de las raíces enésimas del complejo cos(nx) + i sin(nx).

La fórmula de Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x}$

aplicando leyes de la exponenciación

${\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}}$

Entonces, por la fórmula de Euler,

${\displaystyle e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\operatorname {sen}(nx)}$.

Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x}$

si hacemos ${\displaystyle x=\pi }$ entonces tenemos la identidad de Euler:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\pi }&=\cos \pi +i\sin \pi \\&=-1+0\\&=-1\end{aligned}}}$

Es decir:

${\displaystyle e^{i\pi }=-1\,}$

Además como tenemos estas dos igualdades:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x}$

${\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\operatorname {sen} x}$

podemos deducir lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\\\operatorname {sen} x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\end{aligned}}}$

Consideramos tres casos.

Para un entero ${\displaystyle n>0}$, procedemos por inducción matemática. Cuando ${\displaystyle n=1}$ el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo ${\displaystyle k}$. Eso es que asumimos:

${\displaystyle \left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{k}=\cos(kx)+i\operatorname {sen}(kx)}$

Ahora, considerando el caso ${\displaystyle n=k+1}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{k}\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\operatorname {sen} \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)\qquad {\mbox{por la hipótesis de inducción}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\operatorname {sen} \left(kx\right)\operatorname {sen} x+i\left[\cos \left(kx\right)\operatorname {sen} x+\operatorname {sen} \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\operatorname {sen} \left[\left(k+1\right)x\right]\qquad {\mbox{por las identidades trigonométricas}}\end{aligned}}}$

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.

Cuando ${\displaystyle n=0}$ la fórmula es verdadera ya que ${\displaystyle \cos(0x)+i\operatorname {sen}(0x)=1+i0=1}$, y (por convención) ${\displaystyle z^{0}=1}$.

Cuando ${\displaystyle n<0}$, consideramos que existe un entero positivo ${\displaystyle m}$ tal que ${\displaystyle n=-m}$, por lo que

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\operatorname {sen} mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\operatorname {sen} \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\operatorname {sen} \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\operatorname {sen} \left(nx\right).\end{aligned}}}$

Por lo tanto el teorema es verdadero para todo ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$.

La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces

${\displaystyle \left(\cos z+i\operatorname {sen} z\right)^{w}}$

es una función multivaluada mientras

${\displaystyle \cos(wz)+i\operatorname {sen}(wz)}$

no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:

${\displaystyle \cos(wz)+i\operatorname {sen}(wz)}$     es un valor de     ${\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,}$.

Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.

${\displaystyle z=r\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)}$

Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar, siendo ${\displaystyle r}$ el módulo.

• Fórmula de Euler
• Raíz de la unidad
• Números imaginarios

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «De Moivre formula», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
• De Moivre's Theorem for Trig Identities by Michael Croucher, Wolfram Demonstrations Project.