Fórmula de sumación de Abel

Si ${\displaystyle a_{n}=1\,}$ y ${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x}}\,,}$ entonces ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor \,}$ y

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u}$

la cual es una manera de representar la constante de Euler–Mascheroni.

Si ${\displaystyle a_{n}=1\,}$ y ${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}\,,}$ entonces ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor \,}$ y

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$

Esta fórmula es válida para todo ${\displaystyle s}$ con ${\displaystyle \Re (s)>1\,.}$. Esta fórmula puede ser usada para demostrar el teorema de Dirichlet, que dice que ${\displaystyle \zeta (s)\,}$ tiene un polo simple con residuo 1 en ${\displaystyle s=1}$

Si ${\displaystyle a_{n}=\mu (n)\,}$ es la función de Möbius y ${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}\,,}$ entonces ${\displaystyle A(x)=M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)\,}$ es la función de Mertens y

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$

Esta fórmula se cumple para ${\displaystyle \Re (s)>1\,.}$