Factorización de Schur

Si A es una matriz cuadrada sobre números complejos, entonces A puede descomponerse como

${\displaystyle A=QUQ^{*},\,}$

donde Q es una matriz unitaria, Q^* es la traspuesta conjugada de Q, y U es una matriz triangular superior cuyas entradas diagonales son exactamente los autovalores de A.

Toda matriz cuadrada tiene una descomposición de Schur, y por lo tanto, toda matriz cuadrada es unitariamente equivalente a una matriz triangular (de hecho, Q^*AQ = U). Sin embargo, esta descomposición no es única.

Escríbase a la matriz triangular U como U = D + N, donde D es diagonal y N es estrictamente triangular superior (y por lo tanto nilpotente). La matriz diagonal D contiene los autovalores de A en orden arbitrario. Más aún, la parte nilpotente N en general tampoco es única, pero su norma de Frobenius queda determinada unívocamente por A.

Si A es una matriz normal, entonces U es incluso una matriz diagonal y los vectores columna de Q son los autovectores de A. En este caso, la descomposición de Schur se llama descomposición espectral. Más aún, si A es definida positiva, la descomposición de Schur de A es la misma que la descomposición en valores singulares de la matriz.

Una familia conmutativa de matrices puede triangularizarse simultáneamente. Esto significa que, dadas varias matrices conmutativas A₁, …, A_n, existe una matriz unitaria Q tal que las matrices Q^*A₁Q, …, Q^*A_nQ son todas triangular superiores.

Algunos algoritmos en álgebra lineal numérica requieren un método para calcular una descomposición de Schur de una matriz. Esto puede hacerse siguiendo el siguiente procedimiento, que además demuestra que una descomposición de Schur es posible.

Dada la matriz A de orden n por n, encuentra un autovalor λ₁ de A con el correspondiente autovector v₁ de norma 1. Elige n-1 vectores w₂, …, w_n, tales que el conjunto

${\displaystyle v_{1},w_{2},w_{3},\ldots ,w_{n}\,}$

sea una base ortonormal para Cⁿ. Si V₁ denota la matriz con estos vectores como columnas, entonces

${\displaystyle V_{1}^{-1}AV_{1}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*\\0&A_{1}\end{bmatrix}}}$

donde ${\displaystyle A_{1}}$ es una matriz (n-1) por (n-1).

Ahora repetimos este proceso con A₁: esto da una matriz unitaria V₂ tal que

${\displaystyle V_{2}^{-1}A_{1}V_{2}={\begin{bmatrix}\lambda _{2}&*\\0&A_{2}\end{bmatrix}}}$

donde ${\displaystyle A_{2}}$ es una matriz (n- 2) por (n- 2). Por tanto,

${\displaystyle Q_{2}^{*}AQ_{2}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*&*\\0&\lambda _{2}&*\\0&0&A_{2}\end{bmatrix}},\quad {\mbox{donde }}Q_{2}=V_{1}{\hat {V}}_{2}{\mbox{ con }}{\hat {V}}_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}}.}$

Continuando este proceso, uno encuentra las matrices V₃, …, V_n. Finalmente, la matriz U = Q^*AQ con

${\displaystyle Q=V_{1}{\hat {V}}_{2}{\hat {V}}_{3}\cdots {\hat {V}}_{n}}$

es triangular superior, así A = QUQ^* es una descomposición de A.