Fluido de Bingham

Una descripción exacta de la pérdida de fricción para fluidos de Bingham en un flujo laminar completamente desarrollado en una tubería fue desarrollado por Buckingham.[5] La expresión resultante, la ecuación de Buckingham–Reiner, en forma adimensional es la siguiente:

${\displaystyle \ f_{L}=\ {64 \over \mathrm {Re} }\left[1+{\mathrm {He} \over 6\mathrm {Re} }-{64 \over 3}\left({\mathrm {He} ^{4} \over f^{3}\mathrm {Re} ^{7}}\right)\right]}$

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle f_{L}}$	Factor de fricción de Darcy para flujo laminar
${\displaystyle \mathrm {Re} }$	Número de Reynolds
${\displaystyle \mathrm {He} }$	Número de Hedstrom

El número de Reynolds y el número de Hedstrom se definen como:

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\rho VD \over \mu }}$

${\displaystyle \mathrm {He} ={\rho D^{2}\tau _{o} \over \mu ^{2}}}$

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle \mathrm {Re} }$	Número de Reynolds
${\displaystyle \mathrm {He} }$	Número de Hedstrom
${\displaystyle \rho }$	Densidad del fluido	kg/m3
${\displaystyle \mu }$	Viscosidad dinámica del fluido	kg / m s
${\displaystyle \tau _{o}}$	Límite elástico del fluido	Pa

Darby y Melson desarrollaron una expresión empírica[6] que luego fue refinada, y que queda expresada como:[7]

${\displaystyle f_{T}=4*10^{a}\mathrm {Re} ^{-0.193}}$

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle f_{T}}$	Factor de fricción para flujo turbulento
${\displaystyle \mathrm {Re} }$	Número de Reynolds
${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=-1.47\left[1+0.146e^{-2.9\times {10^{-5}}\mathrm {He} }\right]}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle a}$
${\displaystyle \mathrm {He} }$	Número de Hedstrom

Nota: La expresión de Darby y Melson es para el factor de fricción de Fanning, y debe ser multiplicada por 4 para ser usada en las ecuaciones de pérdidas por fricción que se presentan en esta página.

La ecuación de Swamee–Aggarwal se utiliza para obtener de manera directa el factor de fricción f de Darcy–Weisbach para flujo laminar de fluidos de Bingham.[8] Es una aproximación de la ecuación implícita de Buckingham–Reiner, pero la discrepancia con los datos experimentales se encuentra dentro de la incerteza de dichos valores. The Swamee–Aggarwal equation is given by:

${\displaystyle f_{L}={64 \over \mathrm {Re} }+{64 \over \mathrm {Re} }\left({\mathrm {He} \over 6.2218\mathrm {Re} }\right)^{0.958}}$

Danish et al. han desarrollado un procedimiento explícito para calcular el factor de fricción f utilizando el método de descomposición de Adomian.[9] En este método el factor de fricción posee dos términos:

${\displaystyle f_{L}={\frac {K_{1}+{\dfrac {4K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{3}}}}{1+{\dfrac {3K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{4}}}}}}$

donde

${\displaystyle K_{1}={16 \over \mathrm {Re} }+{16\mathrm {He} \over 6\mathrm {Re} ^{2}},}$

y

${\displaystyle K_{2}=-{16\mathrm {He} ^{4} \over 3\mathrm {Re} ^{8}}.}$

En 1981, Darby y Melson, usando el modelo de Churchill[10] y de Churchill y Usagi,[11] desarrollaron una expresión para una sola ecuación del factor de fricción válida para todos los regímenes de flujo:[6]

${\displaystyle f=\left[{f_{L}}^{m}+{f_{T}}^{m}\right]^{1/m}}$

donde:

${\displaystyle m=1.7+{40000 \over \mathrm {Re} }}$

Tanto la ecuación de Swamee–Aggarwal como la ecuación de Darby–Melson se pueden combinar para dar una ecuación explícita para determinar el factor de fricción para los fluidos de Bingham para todo régimen. La rugosidad relativa no es un parámetro en ninguna de las ecuaciones porque el factor de fricción de los fluidos de Bingham no es sensible a la rugosidad de la tubería.