Función Xi de Riemann
En matemática, la la función Xi de Riemann es una variante de la función zeta de Riemann, y es definida así por la particularidad de tener una ecuación funcional simple. La función se llama así en honor a Bernhard Riemann.
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Definición
La función xi (minúscula) de Riemann está definida como:
La ecuación funcional (o fórmula de reflexión) para la función xi es
La función Xi (mayúscula) está definida como
y también obedece a la misma ecuación funcional.
Valores
La fórmula general para enteros pares es
Por ejemplo:
Representación en forma de serie
La función xi tiene la siguiente expansión en forma de serie:
Esta expansión juega particularmente un papel importante en el criterio de Li, en el cual declara que la hipótesis de Riemann es equivalente a tener para todo número positivo n.
Hipótesis de Riemann
Como se ha señalado por varios trabajos de Alain Connes y otros, la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que la función xi de Riemann es el determinante funcional del operador
con
- así,
- ,
cuya conjetura está apoyada mediante varias evaluaciones numéricas.
Referencias
- Weisstein, Eric W. «Xi-Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Keiper, J.B. (1992). «Power series expansions of Riemann's xi function». Mathematics of Computation 58 (198): 765-773. Bibcode:1992MaCom..58..765K. doi:10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5.
- Riemann Ξ function en PlanetMath.