Función beta
En matemáticas, la función beta,[1] también llamada integral de Euler de primer orden, es una función especial estrechamente relacionada con la función gamma y los coeficientes binomiales. Está definida como la integral
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para tales que y .
La función beta fue estudiada originalmente por Euler y Legendre. No obstante, su nombre le fue dado por Jacques Binet.
Propiedades
La función beta es simétrica, esto es
para toda y .
La función beta se relaciona con la función gamma mediante
La función beta también está relacionada con los coeficientes binomiales. Si entonces de la propiedad anterior se sigue que
Relación con la función gamma
Para verificar que se cumple la identidad
consideremos el producto de dos factoriales
Haciendo el cambio de variables y se obtiene
Dividiendo ambos lados de la igualdad entre se obtiene el resultado deseado.
Derivadas
Tenemos que la derivada de la función beta pueden expresarse en términos de la función digamma y las función poligamma pues
donde es la función digamma.
Otras identidades y fórmulas
La integral que define a la función beta puede ser escrita de distintas formas, incluyendo las siguientes
donde en la última identidad . (Uno puede pasar de la primera identidad a la segunda haciendo el cambio de variable ).
La función beta puede ser escrita como una suma infinita como
y como un producto infinito como
Aplicación
Dado que , se deduce de la definición de la función beta y de la primera propiedad enunciada que
de donde .
Supongamos que es un entero no negativo y queremos calcular
Entonces podemos[2]
Usando la segunda propiedad de la función beta, tenemos
De manera que
Función beta incompleta
La función beta incompleta es una generalización de la función beta, se define como
Para , la función beta incompleta coincide con la función beta completa. La relación existente entre las dos funciones es como la que hay entre la función gamma y su generalización, la función gamma incompleta.
La función beta incompleta regularizada (o función beta regularizada para abreviar) está definida en términos de la función beta incompleta y de la función beta completa:
La función beta regularizada es la función de distribución acumulada de la distribución beta y está relacionada con la función de distribución acumulada de una variable aleatoria con distribución binomial con parámetros y como
Propiedades
Función Beta Multivariada
La función beta puede extenderse a una función con más de dos argumentos como
Esta función beta multivariada es usada en la distribución de Dirichlet.
Véase también
Notas
- Llamada también funcón beta de Euler o integral de Euler de primera especie
- Este resultado es válido, aun si se considera a como un número complejo cuya parte real es mayor que -1
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Beta Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric W. «Incomplete Beta Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric W. «Regularized Beta Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Beta-function», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.