Función digamma

La función gamma satisface la ecuación

${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$

derivando la expresión anterior respecto a ${\displaystyle z}$ obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\;\Gamma (x+1)}{dx}}&={\frac {d\left[x\Gamma (x)\right]}{dx}}\\&=x\Gamma '(x)+\Gamma (x)\\\Gamma '(x+1)&=x\Gamma '(x)+\Gamma (x)\end{aligned}}}$

dividiendo ambos lados de la igualdad por ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Gamma '(x+1)}{\Gamma (x+1)}}&={\frac {x\Gamma '(x)+\Gamma (x)}{x\Gamma (x)}}\\&={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}+{\frac {1}{x}}\end{aligned}}}$

o

${\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}}$

Dado que los números armónicos están definidos para ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ como

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$

la función digamma se relaciona con ellos mediante

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (n)&=H_{n-1}-\gamma \\&=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}-\gamma \end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle H_{0}=0}$ y ${\displaystyle \gamma }$ es la constante de Euler-Mascheroni.

Si ${\displaystyle \operatorname {Re} (x)>0}$ entonces la función digamma tiene la siguiente representación integral debida a Gauss

${\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)dt}$

combinando esta expresión con una integral que representa la constante de Euler-Mascheroni ${\displaystyle \gamma }$ tenemos

${\displaystyle \psi (x+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{x}}{1-t}}\right)dt}$

esta integral es el número armónico de Euler ${\displaystyle H_{x}}$ por lo que la fórmula anterior puede ser escrita como

${\displaystyle \gamma (x+1)=\gamma (1)+H_{x}}$

Una consecuencia es la siguiente relación de recurrencia

${\displaystyle \gamma (w+1)-\gamma (x+1)=H_{w}-H_{x}}$

Otra representación integral, debido a Dirichlet, es la siguiente

${\displaystyle \gamma (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{x}}}\right)dx}$

La función ${\displaystyle \psi (x)/\Gamma (x)}$ es una función entera y puede ser representada por el producto infinito

${\displaystyle {\frac {\psi (x)}{\Gamma (x)}}=e^{-2\gamma x}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {x}{x_{k}}}\right)e^{\frac {x}{x_{k}}}}$

donde ${\displaystyle x_{k}}$ es el ${\displaystyle k}$-ésimo cero de ${\displaystyle \psi }$ y ${\displaystyle \gamma }$ es la constante de Euler-Mascheroni.

Utilizando fórmula del producto de Euler para la función gamma, junto con la ecuación funcional y una identidad para la constante de Euler-Mascheroni, obtenemos la siguiente expresión para la función digamma

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x+1)&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}\right)\\&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x}{n(n+x)}}\end{aligned}}}$

o equivalentemente

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+x}}\right)\\&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x-1}{(n+1)(n+x)}}\end{aligned}}}$

La identidad anterior puede ser usada para evaluar sumas de la forma

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}},}$

donde ${\displaystyle p(n)}$ y ${\displaystyle q(n)}$ son polinomios de grado ${\displaystyle m}$.

Empleando fracciones parciales en ${\displaystyle u_{n}}$ y en el caso en el que las raíces de ${\displaystyle q(n)}$ son raíces simples,

${\displaystyle u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}}$

para que la serie converja

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }nu_{n}=0}$

en caso contrario la serie diverge. Dado que

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a_{k}=0}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}(\psi (b_{k})+\gamma )\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k})\end{aligned}}}$

Con las expansiones en series uno puede obtener

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}\\&=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{r_{k}-1}(b_{k})\end{aligned}}}$

La función digamma tiene una serie zeta racional, dada por la serie de Taylor en ${\displaystyle x=1}$, esta es

${\displaystyle \psi (x+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)(-x)^{k}}$

y converge para ${\displaystyle |x|<1}$ donde ${\displaystyle \zeta (n)}$ denota la función zeta de Riemann.

La serie de Newton para la función digamma, en ocasiones llamada como serie de Stern, está dada por

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s}{k}}}$

donde ${\textstyle {\binom {s}{k}}}$ es el coeficiente binomial. La expresión anterior puede ser generalizada a

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left[{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right]}$

donde ${\displaystyle m=2,3,4,\dots }$

La función digamma satisface una fórmula de reflexión similar a la que se cumple para la función gamma,

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot(\pi x)}$

Para ${\displaystyle r,m\in \mathbb {Z} ^{+}}$ con ${\displaystyle r<m}$, la función digamma puede ser expresada en términos de la constante de Euler-Mascheroni y un número finito de funciones elementales

${\displaystyle \psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \operatorname {sen} \left({\frac {\pi n}{m}}\right)}$

• Función gamma
• Función trigamma
• Función poligamma

• Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972. See section §6.4
• Weisstein, Eric W. «Digamma function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.