Número armónico

En matemáticas, se define el n-ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros n números naturales:

H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}

El número armónico

H_{n,1}

con

n=\lfloor {x}\rfloor

(gráfica roja) con su límite asintótico

\gamma +\log x

(gráfica azul).

Este también es igual a n veces el inverso de la media armónica.

Los números armónicos han sido estudiados desde la antigüedad y son importantes en muchas ramas de la teoría de números. A veces se denomina vagamente serie armónica. Están íntimamente relacionados con la función zeta de Riemann, y aparecen en diversas expresiones de funciones especiales.

Representación

La primera representación, en forma integral, fue dada por Leonhard Euler:

H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.

En esta representación es fácil mostrar que se satisface una relación recursiva mediante la fórmula

\int _{0}^{1}x^{n}\,dx={\frac {1}{n+1}},

y luego

x^{n}+{\frac {1-x^{n}}{1-x}}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}

dentro de la integral.

Para los números naturales, H_n también se puede representar como:

H_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}\int _{0}^{1}x^{k}\,dx

H_n crece igual de rápido que el logaritmo natural de n. La razón es que la suma está aproximada por la integral

\int _{1}^{n}{1 \over x}\,dx

cuyo valor es log(n). Concretamente, tenemos el siguiente límite:

\lim _{n\to \infty }H_{n}-\log(n)=\gamma

(donde γ es la constante de Euler-Mascheroni 0.5772156649...).

Y también, como la correspondiente expansión asintótica:

H_{n}=\gamma +\log {n}+{\frac {1}{2}}n^{-1}-{\frac {1}{12}}n^{-2}+{\frac {1}{120}}n^{-4}+{\mathcal {O}}(n^{-6})

Funciones generatrices

Una función generatriz que indexa los números armónicos es

\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\log(1-z)}{1-z}},

donde $\log(z)$ es el logaritmo natural. Otra función generadora exponencial que indexa a los números armónicos es:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=-e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{\frac {(-z)^{k}}{k!}}=e^{z}{\mbox{Ein}}(z)

donde ${\mbox{Ein}}(z)$ es la integral exponencial entera. Nótese que

{\mbox{Ein}}(z)={\mbox{E}}_{1}(z)+\gamma +\log z=\Gamma (0,z)+\gamma +\log z\,

donde $\Gamma (0,z)$ es la función gamma incompleta.

Aplicaciones

Los números armónicos aparecen en varias fórmulas de expresiones del cálculo, como por ejemplo, esta expresión de la función digamma:

\psi (n)=H_{n-1}-\gamma .\,

Esta relación es también utilizada frecuentemente para definir la extensión de los números armónicos a números no enteros n. Los números armónicos también son utilizados frecuentemente para definir γ, usando el límite antes definido en la anterior sección, aunque

\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(H_{n}-\log \left(n+{1 \over 2}\right)\right)}

este converge más rápidamente.

En 2001 Jeffrey Lagarias probó que la hipótesis de Riemann es equivalente a decir que:

\sigma (n)\leq H_{n}+e^{H_{n}}\log(H_{n}),

es cierto para cualquier número entero n ≥ 1 con la desigualdad estricta si n > 1; Aquí σ(n) denota la suma de los divisores de n.

Generalizaciones

Números armónicos generalizados

Los Números armónicos generalizados de orden n de m están dados por la expresión:

H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}

Nótese que el límite cuando n tiende a infinito existe si m > 1.

Otras notaciones ocasinalmente utilizadas, son:

H_{n,m}=H_{n}^{(m)}=H_{m}(n)

El caso especial de m = 1 es simplemente el n-ésimo número armónico y suele escribirse sin el índice superior.

H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}

En el límite, cuando $n\rightarrow \infty$ , los números armónicos generalizados convergen a la función zeta de Riemann.

\lim _{n\rightarrow \infty }H_{n,m}=\zeta (m)

Al igual que en la suma $\sum _{k=1}^{n}k^{m}$ aparecen los números de Bernoulli, en los números armónicos generalizados aparecen los números de Stirling.

Una función generatriz para los números armónicos generalizados es:

\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {{\mbox{Li}}_{m}(z)}{1-z}}

donde ${\mbox{Li}}_{m}(z)$ es el polilogaritmo, y $|z|<1$ . La función generatriz dada arriba, es un caso especial de esta fórmula cuando m = 1.

Generalización al plano complejo

De la fórmula integral de Euler para los números armónicos se obtiene la siguiente identidad:

\int _{a}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{s \choose k}(a-1)^{k}

la cual se cumple para un número complejo s general, utilizando una extensión adecuada de los coeficientes binomiales. Escogiendo a = 0, esta fórmula da ambas representaciones (integral y en forma de serie) para una función que genera los números armónicos y extiende la definición al plano complejo. Esta relación integral se obtiene fácilmente por manipulación del binomio de Newton:

\sum _{k=0}^{\infty }{s \choose k}(-x)^{k}=(1-x)^{s}

concretamente, del binomio generalizado de Newton. La función interpolada es justamente la función digamma, así:

\psi (s+1)+\gamma =\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx

donde ψ(x) es la función digamma, y γ es la constante de Euler-Mascheroni. El proceso de integración se puede repetir para obtener

H_{s,2}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}H_{k}

Referencias

Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7, 1740, pp. 150-161. Reprinted in Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 87 - 100
Arthur T. Benjamin, Gregory O. Preston, Jennifer J. Quinn, A Stirling Encounter with Harmonic Numbers, (2002) Mathematics Magazine, 75 (2) pp 95-103.
Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89683-4. Section 1.2.7: Harmonic Numbers, pp.75–79.
Peter Paule and Carsten Schneider, Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities, (2003) Adv. in Appl. Math. 31(2), pp. 359-378.
Wenchang CHU, A Binomial Coefficient Identity Associated with Beukers' Conjecture on Apery Numbers, (2004) The Electronic Journal of Combinatorics, 11, #N15.

Enlaces externos

http://www.EulerArchive.org (en inglés)
Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes, E43 (en latín)
Ed Sandifer: "How Euler Did It.Gamma the constant" (en inglés)
Ed Sandifer, How Euler Did It.Estimating the Basel problem (en inglés)
Weisstein, Eric W. «Harmonic number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Datos: Q13407133
Multimedia: Harmonic number / Q13407133

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