Función circular

En topología y en particular en el cálculo y aritmética cual significado sirve por referir tal, una función circular matemática de dos sentidos en una variedad diferenciable ${\displaystyle M}$, es una función escalar ${\displaystyle M\to {\mathbb {R} }}$ cuyos puntos críticos son un enlace, es decir, una unión disjunta de componentes conexos, cada uno siendo homeomorfos al círculo ${\displaystyle S^{1}}$.

Por ejemplo, sea ${\displaystyle M}$ el toro. Sea ${\displaystyle K=]0,2\pi [\times ]0,2\pi [}$ entonces el mapeo ${\displaystyle X\colon K\to {\mathbb {R} }^{3}}$ dado por

${\displaystyle X(\theta ,\phi )=((2+\cos \theta )\cos \phi ,(2+\cos \theta )\sin \phi ,\sin \theta )\,}$

es una parametrización para casi todo el toro. Mediante la proyección ${\displaystyle \pi _{3}\colon {\mathbb {R} }^{3}\to {\mathbb {R} }}$ obtenemos ${\displaystyle G=\pi _{3}|_{M}\colon M\to {\mathbb {R} }}$ cuyos puntos críticos están determinados por

${\displaystyle \nabla G(\theta ,\phi )=({\partial G \over \partial \theta },{\partial G \over \partial \phi })(\theta ,\phi )=(0,0)\,}$

si y solo si ${\displaystyle \theta ={\pi \over 2},\ {3\pi \over 2}}$

El círculo negro es uno de estos conjuntos críticos.

Estos dos valores para ${\displaystyle \theta }$ dan los conjuntos críticos

${\displaystyle X({\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,1)\,}$

${\displaystyle X({3\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,-1)\,}$

que representan dos círculos extremos para el toro.

Observe que el Hessiano para esta función es

${\displaystyle {\rm {Hess}}(G)={\begin{bmatrix}-\sin \theta &0\\0&0\end{bmatrix}}}$

el cual se revela a sí mismo de ${\displaystyle {\rm {rankHess}}(G)=1}$ en los círculos de arriba, determinando que los puntos críticos sean degenerados, esto es, mostrando que los puntos críticos no están aislados.