Función de distribución

Sean ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )}$ un espacio de probabilidad y ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ una variable aleatoria, la función de distribución acumulada de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es una función ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1]}$ definida como

${\displaystyle F(x)=\operatorname {P} [X\leq x]}$

La función de distribución evaluada en un número ${\displaystyle x}$ cualquiera es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual a ${\displaystyle x}$.

La función de distribución acumulada ${\displaystyle F}$ puede obtenerse a partir de la función de probabilidad ${\displaystyle f}$.

Una función de distribución acumulada ${\displaystyle F(x)}$ asociada a la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ satisface

1. ${\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1}$.
2. ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1}$.
3. ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$.
4. Es monótona no decreciente, es decir, si ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}}$ entonces ${\displaystyle F(x_{1})\leq F(x_{2})}$.
5. Es continua por la derecha, es decir, ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}F(x)=F(a^{+})}$.

Si ${\displaystyle a\leq b}$ puede demostrarse que

• ${\displaystyle \operatorname {P} (X<a)=F(a^{-})}$

• ${\displaystyle \operatorname {P} (X>a)=1-F(a)}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)=1-F(a^{-})}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (a<X<b)=F(b^{-})-F(a)}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (a\leq X<b)=F(b^{-})-F(a^{-})}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (a\leq X\leq b)=F(b)-F(a^{-})}$

Si ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria continua entonces ${\displaystyle F(x)}$ se dice que es absolutamente continua por lo que

${\displaystyle \operatorname {P} (a\leq X\leq b)=\operatorname {P} (a\leq X<b)=\operatorname {P} (a<X\leq b)=\operatorname {P} (a<X<b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}$

La FDA de una variable aleatoria ${\displaystyle X}$ con distribución uniforme en el intervalo unitario ${\displaystyle [0,1]}$ queda definida por:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x\leq 0\\x&0<x<1\\1&x\geq 1\end{cases}}}$

Si ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria con distribución exponencial con parámetro ${\displaystyle \lambda }$, es decir, ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$ tiene como función de distribución acumulada la función

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x>0\\0&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$

La función cuantil de una variable aleatoria (o de una ley de probabilidad) es la inversa de su acumulada.
Si la FDA ${\displaystyle F}$ es estrictamente creciente y continua, su inversa está definida ${\displaystyle F^{-1}(y),y\in [0,1]}$ es el único número real ${\displaystyle x}$ tal que ${\displaystyle F(x)=y}$.
Solo en tales casos queda así definida la función de distribución inversa o función cuantil. Pero una función de distribución se mantiene constante en todo intervalo en el cual la variable aleatoria no puede tomar valores. Es por esto que se introduce la siguiente definición. Lamentablemente, la distribución carece, en general, de inversa. Se puede definir, para ${\displaystyle y\in [0,1]}$, la inversa generalizada de la función distribución:

${\displaystyle F^{-1}(y)=\inf _{x\in \mathbb {R} }\{F(x)\geq y\}.}$

Sea ${\displaystyle X}$ una variable aleatoria con valores en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ y ${\displaystyle F_{X}}$ su función de distribución. Se llama función cuantil de ${\displaystyle X}$ a la función de ${\displaystyle [0,1]}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} }$, denotada por ${\displaystyle Q_{X}}$, que a ${\displaystyle u\in [0,1]}$ hace corresponder: ${\displaystyle \displaystyle Q_{X}(u)=\inf\{x\;:\;F_{X}(x)\geq u\}\;}$.
La inversa de la pda se denomina función cuantil.

La inversa de la pda puede emplearse para trasladar resultados obtenidos para la distribución uniforme a otras distribuciones.

• Estadística descriptiva
• Distribución de probabilidad

• Conceito de variável aleatória e de função de distribução Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
• Portal Action Archivado el 30 de abril de 2017 en Wayback Machine.