Función de exceso medio

Dada una variable aleatoria X no-negativa, con media finita y con función de distribución dada por ${\displaystyle F_{X}}$, entonces la función de exceso medio ${\displaystyle e_{F}(u)}$ viene dada por el siguiente valor esperado condicionado:[1]

${\displaystyle e_{F}(u)=\mathbb {E} (X-u|X>u),\qquad u\in (u_{m},u_{M})}$

donde ${\displaystyle \mathbb {E} (\cdot )}$ denota un valor esperado, ${\displaystyle u_{m}=\inf\{u|F(u)>0\}}$ y ${\displaystyle u_{M}=\sup\{u|F(u)<1\}}$. Puede demostrarse que la función de exceso esperado puede escribirse en la forma:[1]

${\displaystyle e_{F}(u)={\frac {1}{1-F(u)}}\int _{u}^{\infty }(1-F(y))\ {\text{d}}y,\qquad u\in [0,u_{M})}$

Otra relación interesante entre la función de exceso medio y la distribución de probabilidad es la relación:

${\displaystyle F(x)=1-{\frac {e_{F}(0)}{e_{F}(x)}}\exp \left\{-\int _{0}^{x}{\frac {{\text{d}}y}{e_{F}(y)}}\right\},\qquad x>0}$

Si se considera una variable X distribuida según una distribución exponencial ${\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(\lambda )}$ puede calcularse fácilmente que ${\displaystyle e_{X}(u)=1/\lambda }$. Esta propiedad hace de la distribución exponencial un caso especial, ya que es la única distribución que tiene una función de exceso medio constante. Y permite hacer una clasificación binaria de las distribuciones de probabilidad asociadas a variables positivas:

• Una distribución se dice de cola [derecha] ligera, si para ${\displaystyle u\to \infty }$ la función ${\displaystyle e_{F}(u)\to C<\infty }$ converge.
• Una distribución se dice de cola [derecha] pesada, si para ${\displaystyle u\to \infty }$ se tiene que ${\displaystyle e_{F}(u)\to \infty }$.

En el contexto del sector seguros y actuaría, ${\displaystyle e_{F}(u)}$ se interpreta como el valor esperado de una reclamación, siempre que el valor de los daños esté por encima del valor u. En fiabilidad de sistemas y en medicina ${\displaystyle e_{F}(u)}$ se denomina también vida resiudal media. En el contexto de gestión del riesgo financiero, ${\displaystyle e_{F}(u)}$ representa el "descubierto esperado" (expected shortfall).

• Teorema de Pickands-Balkema-De Haan