Teorema de Pickands-Balkema-de Haan

Si se considera una distribución desconocida ${\displaystyle F}$ de una variable aleatoria ${\displaystyle X}$, puede plantearse el problema de estimar la función de distribución condicional ${\displaystyle F_{u}}$ de que la variable ${\displaystyle X}$ cuando se conoce que su valor está por encima de un cierto umbral ${\displaystyle u}$. Esta función se denomina función de distribución condicional del exceso, definida por:

${\displaystyle F_{u}(y)=\mathbb {P} (X-u\leq y|X>u)={\frac {F(u+y)-F(u)}{1-F(u)}}\,}$

para ${\displaystyle 0\leq y\leq x_{F}-u}$, donde ${\displaystyle x_{F}}$ el valor para el cual ${\displaystyle \inf\{x_{F}|F(x_{F})=1\}}$. La función ${\displaystyle F_{u}}$ describe la distribución del valor en exceso por encima del umbral ${\displaystyle u}$, dado que el umbral es sobrepasado.

Sea ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\ldots )}$ una sucesión de variables aleatorias i.i.d., y sea ${\displaystyle F_{u}}$ su función de distribución condicional del exceso. Pickands (1975), Balkema y de Haan (1974) mostraron que para una amplia clase de distribuciones de partida ${\displaystyle F}$, y valores grades de ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle F_{u}}$ puede ser aproximada adecuandamente mediante la distribución generalizada de Pareto. Es decir:

${\displaystyle F_{u}(y)\rightarrow G_{k,\sigma }(y),{\text{ as }}u\rightarrow \infty }$

donde

${\displaystyle G_{k,\sigma }(y)=1-(1+ky/\sigma )^{-1/k}}$, si ${\displaystyle k\neq 0}$

${\displaystyle G_{k,\sigma }(y)=1-e^{-y/\sigma }}$, si ${\displaystyle k=0}$

Aquí σ > 0 y y ≥ 0 cuando k ≥ 0 y 0 ≤ y ≤ −σ/k cuando k < 0. Puesto que un caso especial de distribución generalizada de Pareto es una ley potencial, el teorema de Pickands-Balkema-de Haan a veces se usa para justificar el uso de leyes potenciales para modelizar situaciones extremas. Sin embargo, muchas distribuciones importantes, como la distribución normal o la lognormal, no tienen colas pesadas que presenten valores extremos al modo de las leyes potenciales.

• Distribución exponencial con media ${\displaystyle \sigma }$, si k = 0.
• Distribución uniforme sobre ${\displaystyle [0,\sigma ]}$, si k = -1.
• Distribución de Pareto, si k < 0.

• Distribución estable
• Función de exceso medio