Distribución log-normal

Una variable aleatoria positiva ${\displaystyle X}$ tiene una distribución lognormal con parámetros ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \sigma }$ y escribimos ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$, si el logaritmo natural de ${\displaystyle X}$ sigue una distribución normal con media ${\displaystyle \mu }$ y varianza ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, esto es

${\displaystyle \ln(X)\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$

Sean ${\displaystyle \Phi }$ y ${\displaystyle \phi }$ las funciones de distribución acumulada y de densidad de una normal estándar ${\displaystyle N(0,1)}$ entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {d}{dx}}\operatorname {P} [X\leq x]={\frac {d}{dx}}\operatorname {P} [\ln(X)\leq \ln(x)]={\frac {d}{dx}}\Phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)\\&=\phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {d}{dx}}\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)=\phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {1}{\sigma x}}\\&={\frac {1}{\sigma x{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

La función de distribución acumulada es

${\displaystyle F_{X}(x)=\Phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}$

donde ${\displaystyle \Phi }$ es la función de distribución acumulada de una normal estándar ${\displaystyle N(0,1)}$.

La expresión anterior también puede ser escrita como

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$

Si${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim N({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ es una distribución normal multivariada entonces ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}=\exp({\boldsymbol {X}})}$ tiene una distribución lognormal multivariante con media

${\displaystyle \operatorname {E} [{\boldsymbol {Y}}]_{i}=e^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}}}$

y matriz de covarianza

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\boldsymbol {Y}})_{ij}=e^{\mu _{i}+\mu _{j}{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}\left(e^{\Sigma _{ij}}-1\right)}$

Para determinar los estimadores por máxima verosimilitud de la distribución lognormal con parámetros ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, podemos utilizar el mismo método que se utilizó para estimar los parámetros de una distribución normal. Notemos que

${\displaystyle L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\varphi _{\mu ,\sigma }(\ln x_{i})}$

donde ${\displaystyle \varphi }$ denota la función de densidad de la distribución normal ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ entonces la función logarítmica de verosimilitud es

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},...,x_{n};\mu ,\sigma )=-\sum _{i}\ln x_{i}+{\mathcal {L}}_{N}(\ln x_{1},\ln x_{2},...,\ln x_{n};\mu ,\sigma )}$

Dado que el primer término es constante respecto a ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \sigma }$, ambas funciones logarítmicas de verosimilitud, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{N}}$, obtienen su máximo con el mismo ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \sigma }$, por lo tanto, utilizando los estimadores por máxima verosimilitud son idénticos a los de la distribución normal para observaciones ${\displaystyle \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}}$

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}},\qquad {\widehat {\sigma ^{2}}}={\frac {\sum _{k}{\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}}{n}}.}$

Para una ${\displaystyle n}$ finita, estos estimadores son in sesgados.

Distribución log-normal ajustada a datos de lluvias máximas diarias por año.[1]